机器学习基石-Noise and Error

大纲

Noise and Probabilistic Target

以前的VC Bound在没有noise的条件下是成立的，但如果引入noise，是否还依旧成立？

Probabilistic Marbles

接下来我们看在引入noise之后的情况

就像以前的抽球的例子，如果数据没有noise，我们称为确定性颜色的球，，如果数据有noise,那么球的颜色就是不确定的啦。我们可以用概率分布来表示球的颜色 p(y/x) ,我们称之为Target distribution

数学证明，只要满足上图的条件，VC Bound是成立的，这就使得我们机器学习问题在有noise的条件下的也是可以学习的。

Target distribution

可以这样理解目标分步

• 可以理解为 ideal mini-target 和noise,当 p(∘/x)=0.7,p(⋆/x)=0.3 ,那么ideal mini-target f(x)=∘ ,noise level就是0.3
• 以前确定性的目标函数 f ,也可以理解为一种特殊情况下的Target distribution
  

所以机器学习流程图可以更新如下

Error Measure

在把learning的工作交给机器的时候，必须让机器明白你学习的目标，譬如你想让什么什么最大化，或者什么什么最小化。通常的做法是把每一个预测值与真实值之间的误差(error)看成一种成本，机器要做的，就是在 H 中，挑选一个能使总成本最低的函数。

point wise error

下图是在训练数据和包外数据上的point wise error

point wise error是机器学习中最常用也是最简单的一种错误衡量方式，未来课程中，我们主要考虑这种方式。point wise error一般可以分成两类：0/1 error和squared error。0/1 error通常用在分类（classification）问题上，而squared error通常用在回归（regression）问题上。

Ideal Mini-Target

ideal mini-targetf(x)是由target distribution p(y/x) 和err的类型来决定的，如上图所示，0/1 error和square error的 f(x) 就不一样。

引入了Error Measure后，我们就可以指导演算法挑选更好的 g ,使得g和目标函数f(x)更加接近，所以机器学习流程图可以更新为

Algorithmic Error Measure

机器学习演算法A的cost function error估计有多种方法，真实的err一般难以计算，常用的方法可以采用plausible或者friendly，根据具体情况而定。

引入algorithm error measure之后，学习流程图如下：

总结一下，先根据问题的不同选择合适的误差衡量方式，0/1 error还是squared error或者是其他针对某一场景特殊设计的error？把 h 作用于 D 中所有点的error加总起来就成了一个cost function，也就是 Ein(h) ，接着要设计一个最优化算法 A ，它能够从 H 中挑选出能够使 Ein(h) 最小的方程 g ，learning就完成了。对于不同类型的cost function，通常会使用不同的最优化算法。对于某些cost function，很容易实现 Ein(h) 最小，比如之后会说的线性回归。对于某些cost function，寻找最小的 Ein(h) 是困难的，回忆之前说的PLA，用0/1 error来衡量误差，要minimize Ein(h) 就是个NP Hard问题。

Weighted Classification