矩阵中零空间，行空间的意义

零空间、行空间都属于子空间，所以需要理解子空间，要理解子空间，自然需要知道“空间”的意思。

“空间”，这里特指向量空间，是对于线性运算封闭的向量集合，即对于空间中的任意向量和，对于任何实数和，线性组合必属于该空间。简单的例子如其和和数乘也必属于该空间。

常见的如实数空间，……都是重要的向量空间，表示维空间。

“子空间”为包含向量空间内的一个向量空间，它是原向量空间的一个子集，而且本身也满足向量空间的要求。

但是“子空间”和“子集”的概念有区别，所有元素都在原空间之内就可以称之为子集，但是要满足对线性运算封闭的子集才能称为子空间。

可以环顾下自己身处的房间，我们都处于三维空间中。细讲的话，地面是二维子空间，房门所在墙也是一个二维子空间，窗户所在墙同样也是一个二维子空间，房顶也是一个二维子空间（如果你家房子是常规房子）。但是，你应该要认识到地面和房顶所在的二维子空间是同一个子空间（或平面），只是它们所处物理高度不同。不要去考虑“高度”，因为在二维世界里没有“高度”（只有长宽），在二维世界的视角，地面和房顶是一个平面空间）；以上是常规的二维空间，你也可以把倾斜地显示器屏幕想象成它处于一个二维空间，没错，“空间”很自由，你任意旋转屏幕就能得到任意一个二维空间（平面）。说完二维空间，三维空间应该更好理解了。例如，任一墙面与地面的垂线（例如两个墙面的相交的线）和地面就构成了“正交”空间。这里要注意，构成空间的子空间可以不正交，正交只是笛卡尔坐标系的特点。当然，正交的子空间有特别优异的特性，在实际数据处理过程中，大家都努力把子空间经过变换称为正交子空间，从而在不同子空间中的数据互不影响。为什么互不影响呢？因为正交，正交表明两个子空间的数据“独立不相关”。所以任意子空间如果相互正交，那么其中一个子空间与另一个子空间互成“零空间”（NullSpace）。

列空间 Column space（行空间在零空间里讲解）

矩阵的列空间C()是其列向量的所有线性组合所构成的空间。

求解的问题，对于给定的矩阵，对于任意的都能得到解么？显然并不是所有的都能保证有解，因为它有4个线性方程而只有3个未知数，矩阵列向量的线性组合无法充满，因此如果不能被表示为列向量的线性组合时，方程式无解的。只有当在矩阵的列空间C()时，才有解。

对于我们所给定的矩阵，由于列向量不是线性无关的，第三个列向量为前两个列向量之和，所以尽管有3个列向量，但是只有2个对张成向量空间有贡献。矩阵的列空间为内的一个二维子空间。

 

零空间（或称化零空间）Nullspace

矩阵的零空间N()是指满足的所有解的集合。对于所给定的这个矩阵，其列向量含有4个分量，因此列空间是的子空间，为含有3个分量的向量，故矩阵的零空间是的子空间。对于矩阵，列空间为的子空间，零空间为的子空间。零空间的维数是，就不展开了，线性代数的基础知识。

本例中矩阵的零空间N()为包含的任何倍数的集合，因为很容易看到第一列向量和第二列向量相加除以2减去第三列向量为零，所以此零空间为中的一条直线。

为了验证的解释一个向量空间，可以验证它是否对线性运算封闭：

若和为解集中的元素，则有：

,

因此得证。

值的影响

若方程变为，则其解集不能构成一个子空间。零空间并不在这个集合内，解集是空间内过和的一个平面，但是并不穿过原点。

 

小结：对于列空间，它是由列向量进行线性组合张成的空间；而零空间是从方程组出发，通过让满足特定条件而得到的子空间。

接下来等我有空了，就继续更新Nullspace在neural computation中的经典应用，即在动作没产生前，大量神经元的活动就是在Nullspace中，所以对肌肉没有产生实质输出：Cortical activity in the null space: permitting preparation without movement