关于宗函数f(t)下的一对单边函数的拉普拉斯的正反变换中左，右边函数的相关求法，证明及相关定义，补充Z变换的同理求法

根据《信号与系统》郑君里，第四章的一个例子总结出来的三大变换的规律，是我在大四备考研究生时的总结，希望能给考研学子带来帮助。这里面有一些新的定义和概念，建议读者在学习的时候，在草纸上画一画，感性的认识有助于理性的认识，教材下载地址点击打开链接  

一、左边函数的正变换的相关性质及证明。

1、宗函数f(t)的右截取函数f(t)ξ(t)与它的左截取函数的相反函数-f(t)ξ(-t)具有相同形式的拉普拉斯变换F(s)，即ζ[f(t)ξ(t)]=ζ[-f(t)ξ(-t)]，宗函数的原函数为F(t),且该函数在拉普拉斯变换式中有F(+∞)=F(-∞)。


其中，宗函数不变，分别用以上“截取函数对”对其左右截取翻折所得的两个函数称为一对单边函数，右截取函数称为“右边函数”或“右边信号”，左截取函数称为“左边函数”或“左边信号”。


比如，f(t)、-f(t)均可称为宗函数，ξ(t)、-ξ(-t) 均为一组截取函数对，由排列知识可知，宗函数与截取函数有四种一般形式：
f(t)ξ(t)、f(t)ξ(-t)、-f(t)ξ(t)、-f(t)ξ(-t) 。


2、证明:


令g(t)=f(t)ξ(t)，φ(t)=-f(t)ξ(-t)，G(s)=ζ[g(t)]，ψ(s)=ζ[φ(t)]。
G(s)
=∫g(t)e∧(-st)dt
=∫f(t)ξ(t)e∧(-st)dt
=∫f(t)e∧(-st)dt。
(积分区间为[0,∞]、收敛域为:σ＞α，α为某一常数。)


ψ(s)
=∫｛-f(t)ξ(-t)e∧(-st)｝dt     (积分区间为[-∞,0])
=∫｛-f(t)e∧(-st)｝dt              (积分区间为[-∞,0])
=∫f(t)e∧(-st)dt                 (积分区间为[0,-∞])
=G(s)
即G(s)=ψ(s)。(收敛域为:σ＜α。)


但是，应注意此时这一对单边函数积分区间(时域定义域定义域)是关于坐标轴纵轴对称的，它们拉普拉斯变换的收敛域(复频域定义域)也是关于纵轴对称的。


推广1：左右截取函数对不仅仅局限于ξ(t)、ξ(-t)，任意单边型宗函数都有与之对应的截取函数，如与f(t-to)对应的截取函数ξ(t-to)，该函数称为右边函数，与该函数对应左边函数为-f(t-to)ξ[-(t-to)],则这对宗函数变化对亦有相同形式的拉普拉斯变换。
由此可知，这对截取函数在坐标系中共同构成幅值常数1，并关于原点对称。
这里还可看出，宗函数怎么平移，相应的截取函数就怎么平移。
 
3、由以上可知，在求取宗函数的左边函数的拉普拉斯变换的象函数时，只需将左边信号f(t)ξ(-t)中的宗函数f(t)保持不变，然后采用相应的右边截取得到相应的右边函数｛-f(t)ξ(t)｝，求出该右边函数的拉普拉斯变换就是左边函数的象函数。


二、反变换。


1、在求解双边拉普拉斯反变换时，首先确定哪些极点对应右边函数，哪些极点对应左边函数。F(s)的极点位于收敛域的两侧，左侧的极点（σ> a）对应t≥0的右边函数(因为收敛域在极点的右侧对应的宗函数的右截取函数的积分区间，这样保证了满足拉氏变换的条件，即还极点对应右边函数)，右侧的极点（σ< a）对应t＜0的左边函数(同理，收敛域在极点的左侧对应是宗函数的左截取函数的积分区间，即该极点对应左边函数)。


求右边函数时，可经过单边拉普拉斯反变换得到；而求左边函数时，就可由反变换求出的右边函数经过一个简单的截取（总函数不变，相应的截取函数对截取）即可。


三、相关定义(仅为理解本文下的定义)。


1、时间函数:将函数f(t) [t∈（-∞,∞）]这类时间域的函数称为时间函数，此处也成为宗函数。


2、相反函数:将时间函数f(t)关于时间轴对称的函数-f(t)称为f(t)的相反函数。（次定义在这里已无用，因为更新了算法，新算法“保持总函数形式不变，用相应的截取函数对解决问题”）。


3、截取函数:将具有区间截取功能而又不改变函数在该区间原貌的函数称为“截取函数”。


ξ(t)=1(t＞0)称为“右截取函数”，ξ(-t)=1(t＜0)称为“左截取函数”或“左边截取函数”。如当a=0时，1×ξ(t) = ξ(t)，对宗函数 1 的截取，即为单位阶跃信号。


4、右边函数:将函数f(t)与右截取函数ξ(t)的乘积所得函数f(t)ξ(t)称为“右边函数”，即t＞0的区间内函数。


5、左边函数:将函数f(t)与左截取函数ξ(-t)的乘积所得函数f(t)ξ(-t)称为“左边函数”，即t＜0区间内的函数。


6、翻折:将所求得的时间函数关于时间轴对称(记为“翻”)，然后采用截取函数“截取”(记为“折”)。（同2）.


7、绞对变函数：取某一函数，将其定义域取反和函数值取反后所得的函数与原函数成为绞对变函数，它们是互为绞对变函数（此定义可忽略）。


(本文中主要用于对求双边反拉普拉斯变换中的左边函数。即“将所求得的右边时间函数中的宗函数关于时间轴对称，然后采取“左截取”，即可得到象函数的左边函数)。


四、对于“Z域变换”同“S域变换”原理一样。


不同点在于：


1、μ(n)与-μ(-n-1)是唯一一组“截取函数”对。


2、对不是以上截取函数对的情形μ(-n)可以用平移性质解决。


平移性质f(n-m)μ(n-m)↔z^(-m)F(z)


f(n)μ(-n)向左平移一个单位得到f(n+1)μ(-n-1)。以此类推，触类可旁通。


五、PS：后续补充。


1、收敛域 σ 与定义域 t相对于自身坐标系具有同向性。因为收敛因子必须<=1,所以，e的指数(-st)必须为负值，则s与t必须同正同负，则
σ与t同正同负。


因此，对于因果信号或者右边信号而言，其收敛域位于S平面的右边区域；对于反因果信号以及左边信号而言，其双边拉普拉斯变换的收敛域为S平面的左边区域；对于双边信号而言，其双边拉普拉斯变换的收敛域为“带状区域”。


2、复频域的收敛域相对于极点的趋势与时间域的定义域相对于原点的趋势具有一致性。


3、左边函数与右边函数具有相同的三大变换(待求证) 


4、离散信号的右截取函数为“单位阶跃序列”，左截取函数为单位阶跃序列的纵轴对称序列。


5、冲激信号既存在又不存在！它只是个理想化工具！

6、为了方便书写，截取函数也表示信号非零值时间的定义域！ 

PS:博主现在做移动应用开发，关于这信号与系统的问题可能不会及时回答，敬请谅解！