机器学习决策树算法

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决策树是一种机器学习的方法。决策树的生成算法有ID3, C4.5和C5.0等。决策树是一种树形结构，其中每个内部节点表示一个属性上的判断，每个分支代表一个判断结果的输出，最后每个叶节点代表一种分类结果。

决策树是一种十分常用的分类方法，需要监管学习（有教师的Supervised Learning），监管学习就是给出一堆样本，每个样本都有一组属性和一个分类结果，也就是分类结果已知，那么通过学习这些样本得到一个决策树，这个决策树能够对新的数据给出正确的分类。这里通过一个简单的例子来说明决策树的构成思路：

给出如下的一组数据，一共有十个样本（学生数量），每个样本有分数，出勤率，回答问题次数，作业提交率四个属性，最后判断这些学生是否是好学生。最后一列给出了人工分类结果。

然后用这一组附带分类结果的样本可以训练出多种多样的决策树，这里为了简化过程，我们假设决策树为二叉树，且类似于下图：

通过学习上表的数据，可以设置A，B，C，D，E的具体值，而A，B，C，D，E则称为阈值。当然也可以有和上图完全不同的树形，比如下图这种的：

所以决策树的生成主要分以下两步，这两步通常通过学习已经知道分类结果的样本来实现。

1. 节点的分裂：一般当一个节点所代表的属性无法给出判断时，则选择将这一节点分成2个

子节点（如不是二叉树的情况会分成n个子节点）

2. 阈值的确定：选择适当的阈值使得分类错误率最小 （Training Error）。

比较常用的决策树有ID3，C4.5和CART（Classification And Regression Tree），CART的分类效果一般优于其他决策树。下面介绍具体步骤。

ID3: 由增熵（Entropy）原理来决定那个做父节点，那个节点需要分裂。对于一组数据，熵越小说明分类结果越好。熵定义如下：

Entropy＝- sum [p(x_i) * log2(P(x_i) ]

其中p(x_i) 为x_i出现的概率。假如是2分类问题，当A类和B类各占50%的时候，

Entropy = - （0.5*log_2( 0.5)+0.5*log_2( 0.5))= 1

当只有A类，或只有B类的时候，

Entropy= - （1*log_2( 1）+0）=0

所以当Entropy最大为1的时候，是分类效果最差的状态，当它最小为0的时候，是完全分类的状态。因为熵等于零是理想状态，一般实际情况下，熵介于0和1之间。

熵的不断最小化，实际上就是提高分类正确率的过程。

比如上表中的4个属性：单一地通过以下语句分类：

1. 分数小于70为【不是好学生】：分错1个

2. 出勤率大于70为【好学生】：分错3个

3. 问题回答次数大于9为【好学生】：分错2个

4. 作业提交率大于80%为【好学生】：分错2个

最后发现 分数小于70为【不是好学生】这条分错最少，也就是熵最小，所以应该选择这条为父节点进行树的生成，当然分数也可以选择大于71，大于72等等，出勤率也可以选择小于60，65等等，总之会有很多类似上述1~4的条件，最后选择分类错最少即熵最小的那个条件。而当分裂父节点时道理也一样，分裂有很多选择，针对每一个选择，与分裂前的分类错误率比较，留下那个提高最大的选择，即熵减最大的选择。

C4.5：通过对ID3的学习，可以知道ID3存在一个问题，那就是越细小的分割分类错误率越小，所以ID3会越分越细，比如以第一个属性为例：设阈值小于70可将样本分为2组，但是分错了1个。如果设阈值小于70，再加上阈值等于95，那么分错率降到了0，但是这种分割显然只对训练数据有用，对于新的数据没有意义，这就是所说的过度学习（Overfitting）。

分割太细了，训练数据的分类可以达到0错误率，但是因为新的数据和训练数据不同，所以面对新的数据分错率反倒上升了。决策树是通过分析训练数据，得到数据的统计信息，而不是专为训练数据量身定做。

就比如给男人做衣服，叫来10个人做参考，做出一件10个人都能穿的衣服，然后叫来另外5个和前面10个人身高差不多的，这件衣服也能穿。但是当你为10个人每人做一件正好合身的衣服，那么这10件衣服除了那个量身定做的人，别人都穿不了。

所以为了避免分割太细，c4.5对ID3进行了改进，C4.5中，优化项要除以分割太细的代价，这个比值叫做信息增益率，显然分割太细分母增加，信息增益率会降低。除此之外，其他的原理和ID3相同。

CART：分类回归树

CART是一个二叉树，也是回归树，同时也是分类树，CART的构成简单明了。

CART只能将一个父节点分为2个子节点。CART用GINI指数来决定如何分裂：

GINI指数：总体内包含的类别越杂乱，GINI指数就越大（跟熵的概念很相似）。

a. 比如出勤率大于70%这个条件将训练数据分成两组：大于70%里面有两类：【好学生】和【不是好学生】，而小于等于70%里也有两类：【好学生】和【不是好学生】。

b. 如果用分数小于70分来分：则小于70分只有【不是好学生】一类，而大于等于70分有【好学生】和【不是好学生】两类。

比较a和b，发现b的凌乱程度比a要小，即GINI指数b比a小，所以选择b的方案。以此为例，将所有条件列出来，选择GINI指数最小的方案，这个和熵的概念很类似。

CART还是一个回归树，回归解析用来决定分布是否终止。理想地说每一个叶节点里都只有一个类别时分类应该停止，但是很多数据并不容易完全划分，或者完全划分需要很多次分裂，必然造成很长的运行时间，所以CART可以对每个叶节点里的数据分析其均值方差，当方差小于一定值可以终止分裂，以换取计算成本的降低。

CART和ID3一样，存在偏向细小分割，即过度学习（过度拟合的问题），为了解决这一问题，对特别长的树进行剪枝处理，直接剪掉。

以上的决策树训练的时候，一般会采取Cross-Validation法：比如一共有10组数据：

第一次. 1到9做训练数据， 10做测试数据

第二次. 2到10做训练数据，1做测试数据

第三次. 1，3到10做训练数据，2做测试数据，以此类推

做10次，然后大平均错误率。这样称为 10 folds Cross-Validation。

比如 3 folds Cross-Validation 指的是数据分3份，2份做训练，1份做测试。