基于反步法backstepping的自适应控制简介

反步法基础

反步法（Backstepping）是一种基于李雅普诺夫稳定性理论的现代控制方法，通过对控制量的数学处理达到稳定性控制的效果，其数学处理过程十分巧妙。
更加详细的反步法基础可以阅读笔者的Backstepping反步法控制四旋翼无人机（2）文章进行了解，本文在这里简单引入反步法的一些基本思想，为基于Backstepping的自适应控制打下基础。

系统描述

一般地，任意系统，不论是线性的还是非线性的，都可以写为以下形式：
$$\dot{x}=f(x,t)+g(t)u$$即系统的状态变量$x$的导数（变化速率）可以用$x,t,u$的函数来描述。
比如，对于最简单的匀加速直线运动系统，设状态变量为位移$x=x_1$，速度$v=x_2$，则根据$F=ma$有
$$\begin{array}{r}{\dot{x}}_1=x_2\\ {\dot{x}}_2=\frac{F}{m}\end{array}$$若把力$F$设为控制量$u$，那么可以将上式写成矩阵形式
$$\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{m}\end{array}\right]F$$
该例子为线性的例子，但非线性例子同样可以写为$\dot{x}=f(x,t,u)$的形式。

反步法运算

要使用反步法有一个小小的限制：最好将变量“分组”设为状态变量，如$x_2={\dot{x}}_1$。以下举例进行说明反步法的简单运算，以二阶系统为例。

设有二阶系统
$$\begin{array}{rl}{\dot{x}}_1& =x_2\\ {\dot{x}}_2& =f(x,t,u)\end{array}$$其中函数$f$为不显含${\dot{x}}_1,{\dot{x}}_2$的函数。

设$x_1$的期望值为$x_{d1}$，则可以得到期望值与实际值的差，即误差
$$e_1=x_{d1}-x_1\text{\hspace{1em}(1)}$$设李雅普诺夫函数为
$$V_1(e_1)=\frac{1}{2}{e}_1^2$$对其求导有
$$\begin{array}{rl}{\dot{V}}_1& =e_1{\dot{e}}_1\\ & =e_1\left({\dot{x}}_{d1}-{\dot{x}}_1\right)\\ & =e_1\left({\dot{x}}_{d1}-x_2\right)\end{array}$$为了满足李雅普诺夫稳定性理论，最好有${\dot{V}}_1=-{\alpha }_1{e}_1^2\le 0({\alpha }_1>0)$，也就是${\dot{x}}_{d1}-x_2=-{\alpha }_1{e}_1$。在这个基础上可以得到$x_2={\dot{x}}_{d1}+{\alpha }_1{e}_1$。但是，实际的$x_2$不可能等于这个值，因此这个$x_2$我们称之为“虚拟控制量”，用$x_2^v$表示：
$$x_2^v={\dot{x}}_{d1}+{\alpha }_1{e}_1$$那么，该虚拟控制量和实际$x_2$之间又会存在一个误差：
$$\begin{array}{rl}{e}_2& =x_2-x_2^v\\ & =x_2-{\dot{x}}_{d1}-{\alpha }_1{e}_1\end{array}$$亦即
$$x_2-{\dot{x}}_{d1}=e_2+{\alpha }_1{e}_1\text{\hspace{1em}(2)}$$同时还能得到
$${\dot{e}}_2={\dot{x}}_2-{\ddot{x}}_{d1}-{\alpha }_1{\dot{e}}_1\text{\hspace{1em}(3)}$$
现在，设新的李雅普诺夫函数
$$V_2(e_1,e_2)=\frac{1}{2}{e}_1^2+\frac{1}{2}{e}_2^2$$并对其求导（其中考虑到(2)(3)式）
$$\begin{array}{rl}{\dot{V}}_2& =e_1{\dot{e}}_1+e_2{\dot{e}}_2\\ & =e_1\left({\dot{x}}_{d1}-x_2\right)+e_2\left({\dot{x}}_2-{\ddot{x}}_{d1}-{\alpha }_1{\dot{e}}_1\right)\\ & =e_1\left(-e_2-{\alpha }_1{e}_1\right)+e_2\left[{\dot{x}}_2-{\ddot{x}}_{d1}-{\alpha }_1\left(-e_2-{\alpha }_1{e}_1\right)\right]\\ & =-e_1{e}_2-{\alpha }_1{e}_1^2+e_2\left[f(x,t)+g(t)u-{\ddot{x}}_{d1}+{\alpha }_1\left(e_2+{\alpha }_1{e}_1\right)\right]\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$稍加考虑即可发现，若令
$$u=\frac{1}{g(t)}\left[{\ddot{x}}_{d1}-f(x,t)-{\alpha }_1\left(e_2+{\alpha }_1{e}_1\right)+e_1-{\alpha }_2{e}_2\right]\text{\hspace{1em}(5)}$$那么将(5)代入(4)即有
$${\dot{V}}_2=-{\alpha }_1{e}_1^2-{\alpha }_2{e}_2^2\le 0$$即满足李雅普诺夫稳定性，系统稳定。

可以看出，在整个过程中，通过在$u$表达式中增减相应的项，可以达到消除${\dot{V}}_2$中某些项的目的，从而使得${\dot{V}}_2$负定或半负定。这个过程完全通过数学运算来规避掉不确定因素，强行使得李雅普诺夫函数负定或半负定，而整个过程中需要确定的参量仅仅是${\alpha }_1,{\alpha }_2$两个而已；而控制量$u$的运算也可以通过(5)式得到。

基于反步法的自适应

反步法是如此的优美，它仅仅通过数学运算，就规定了控制量$u$的取值方法，实际调参中仅调节${\alpha }_1,{\alpha }_2$两个参数，就能达到不错的效果。很容易能想到，当系统中出现了无法预测、无法测量的扰动时，依然可以用相似的思想，用数学方法进行运算规避掉。下面进行简单介绍。

依然是该系统，但存在难以测量的扰动$T$：
$$\dot{x}=f(x,t)+g(t)u+T$$相应地应当有
$$\begin{array}{rl}{\dot{V}}_2& =e_1{\dot{e}}_1+e_2{\dot{e}}_2\\ & =e_1\left({\dot{x}}_{d1}-x_2\right)+e_2\left({\dot{x}}_2-{\ddot{x}}_{d1}-{\alpha }_1{\dot{e}}_1\right)\\ & =e_1\left(-e_2-{\alpha }_1{e}_1\right)+e_2\left[{\dot{x}}_2-{\ddot{x}}_{d1}-{\alpha }_1\left(-e_2-{\alpha }_1{e}_1\right)\right]\\ & =-e_1{e}_2-{\alpha }_1{e}_1^2+e_2\left[f(x,t)+g(t)u+T-{\ddot{x}}_{d1}+{\alpha }_1\left(e_2+{\alpha }_1{e}_1\right)\right]\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$应当注意，在(6)式中将${\dot{x}}_2$表达式代入时，出现了$T$。
根据之前所述，$T$无法测量，因此无法得知其真实值。那么如果再按照(5)的方法设计$u$，那么$u$中势必会显含$T$：
$$u=\frac{1}{g(t)}\left[{\ddot{x}}_{d1}-f(x,t)-{\alpha }_1\left(e_2+{\alpha }_1{e}_1\right)+e_1-{\alpha }_2{e}_2-T\right]\text{\hspace{1em}(7)}$$而$T$未知，从而$u$也无法计算。
那么，该如何把这个不可测量的$T$规避掉呢？

不可测量参数的规避

既然$T$的真实值无法测量，不如引入一个估计值$\hat{T}$。很明显，该估计值是怎么“估计”得到的依然是个亟待解决的问题，但这不影响我们后续的推导，且在我们后续的推导中可以看出，该估计值的具体估计表达式实际上和$T$的真实值并无关系。

设对于扰动$T$，其实际值与估计值之间的误差为
$$\epsilon =T-\hat{T}\text{\hspace{1em}(8)}$$且有
$$\dot{\epsilon }=\dot{T}-\dot{\hat{T}}$$一般地，若将扰动视为瞬时的、脉冲性的，则在极短时间$\Delta t$内可以有$\dot{T}\approx 0$，因而
$$\dot{\epsilon }=-\dot{\hat{T}}\text{\hspace{1em}(9)}$$现在暂且把$\epsilon$放在一边，回来考虑控制量$u$的设计。既然在(7)中含有实际值$T$，无法计算$u$的准确值，那不如把(7)中的$T$替换成$\hat{T}$，这样一来，用估计值代入$u$表达式来计算$u$：
$$u=\frac{1}{g(t)}\left[{\ddot{x}}_{d1}-f(x,t)-{\alpha }_1\left(e_2+{\alpha }_1{e}_1\right)+e_1-{\alpha }_2{e}_2-\hat{T}\right]\text{\hspace{1em}(10)}$$换句话说就是，(7)中只有$T$这一项无法得知，那不如换成其估计值（因为估计值是一个已知的值），这样$u$就可以计算了。

现在看来，$u$可以利用$\hat{T}$计算了，满足(10)的$u$就可以使$V_2$满足李雅普诺夫稳定性。可是，真正实施起来就会如此顺利吗？

不可测量参数的估计值的计算方法

细心的读者可能发现了，我们用$\hat{T}$替换掉$T$的大前提是，我们假设$\hat{T}$是已知量，是能算出来的。可是，$T$作为一个瞬发性扰动，无法预测、无法测量、极难建模，那又该用什么样的数学公式、什么样的方法去估计$T$得到$\hat{T}$呢？连$T$的数学模型都不知道，该如何估计它？

这里，我们回头检视我们的整个运算过程，会发现中间除了$e_1,e_2$，还出现了第三个误差量$\epsilon$。因此，不妨再次设计新的李雅普诺夫函数，把所有误差量都考虑进去：
$$V_3(e_1,e_2,\epsilon )=\frac{1}{2}{e}_1^2+\frac{1}{2}{e}_2^2+\frac{1}{2\lambda }{\epsilon }^2\text{\hspace{1em}(11)}$$对其求导（代入(9)）
$$\begin{array}{rl}{\dot{V}}_3& =e_1{\dot{e}}_1+e_2{\dot{e}}_2+\epsilon \dot{\epsilon }\\ & =e_1\left({\dot{x}}_{d1}-x_2\right)+e_2\left({\dot{x}}_2-{\ddot{x}}_{d1}-{\alpha }_1{\dot{e}}_1\right)+\frac{1}{\lambda }\epsilon \left(-\dot{\hat{T}}\right)\\ & =e_1\left(-e_2-{\alpha }_1{e}_1\right)+e_2\left[{\dot{x}}_2-{\ddot{x}}_{d1}-{\alpha }_1\left(-e_2-{\alpha }_1{e}_1\right)\right]-\frac{1}{\lambda }\epsilon \dot{\hat{T}}\\ & =-e_1{e}_2-{\alpha }_1{e}_1^2+e_2\left[f(x,t)+g(t)u+T-{\ddot{x}}_{d1}+{\alpha }_1\left(e_2+{\alpha }_1{e}_1\right)\right]-\frac{1}{\lambda }\epsilon \dot{\hat{T}}\end{array}\text{\hspace{1em}(12)}$$把显含$\hat{T}$的$u$的表达式(10)代入(12)有
$$\begin{array}{rl}{\dot{V}}_3& =-{\alpha }_1{e}_1^2-{\alpha }_2{e}_2^2+e_2\left(T-\hat{T}\right)-\frac{1}{\lambda }\epsilon \dot{\hat{T}}\\ & =-{\alpha }_1{e}_1^2-{\alpha }_2{e}_2^2+e_2\epsilon -\frac{1}{\lambda }\epsilon \dot{\hat{T}}\end{array}\text{\hspace{1em}(13)}$$显然，为了使${\dot{V}}_3\le 0$，最好有
$$e_2\epsilon -\frac{1}{\lambda }\epsilon \dot{\hat{T}}=0\text{\hspace{1em}(14)}$$即
$$\dot{\hat{T}}=\lambda e_2\text{\hspace{1em}(15)}$$换句话说，只要估计值$\hat{T}$满足了式(15)，那么所得到的李雅普诺夫函数就是负定或者半负定的，系统就是稳定的。
而可喜的是，即使我们并不知道$T$的实际数学模型，我们也不知道根据式(15)得到的“估计值”是否接近真实值，但是该估计值确实有效，它确实可以使系统稳定。只需要改变${\alpha }_1,{\alpha }_2,\lambda$三个参数，就可以使系统稳定。

更加值得注意的是，每次迭代运算中，$e_2=x_2-x_2^v$的值都是改变的，因此$\dot{\hat{T}}$的值也是改变的，即每次迭代时$\dot{\hat{T}}$都可以“自适应”地去改变自身参数，以达到整体系统的稳定。我们不知道每次迭代时估计值$\hat{T}$有多接近真实值$T$，但是利用式(15)的确可以达到稳定。

因此，可以做出以下结论：

1. 本质上，基于backstepping的自适应控制算法依然是利用数学技巧去进行某些项的消去操作，强行使得最后的李雅普诺夫函数负定或者半负定；
2. 与backstepping不同的是，控制量$u$的表达式中需要多出一项估计值$\hat{T}$；
3. 该估计值是否能够准确估计$T$不得而知，估计规律$\dot{\hat{T}}=\lambda e_2$是否正确也不得而知，但是该估计规律却可以帮助我们消项，并进一步达到李雅普诺夫函数的负定或半负定；
4. 可以通过调节$\lambda$参数来改变$\hat{T}$对$T$的“接近程度”，进而达到系统稳定。
5. 笔者认为，该控制算法“自适应”之处在于，即使对扰动$T$无法建模，依然可以通过一些规律$\dot{\hat{T}}=\lambda e_2$来维持系统稳定，而式(15)的有效性恰恰证明了该估计规律对$T$的实际值“适应”得很好。

在后续的笔记中，我会在基于反步法的四旋翼控制基础上，引入扰动项，并利用本文所讲述的自适应方法进行控制。请拭目以待！