扩张状态观测器简介

由于这两天经常用到关于观测器的一些东西，于是看到了这个“扩张状态观测器”，Extended State Obsever，简称ESO。
扩张状态观测器是把系统中的不确定项或者干扰视为系统中的 状态之一，建立新的状态空间（也就是 扩张状态空间或者叫 增广状态空间），对这个空间中的状态进行观测，即可得到不确定项的 估计值。

1. 系统模型

设系统满足如下模型：
$$\ddot{y}=a\left(y,\dot{y},w\right)+bU\text{\hspace{1em}(1)}$$其中$w$为未知干扰，且$b=b_0+\Delta b$，其中$b_0$是$b$的最优估计，$\Delta b$是不确定项。
如果记
$$d=a+\Delta b\cdot U\text{\hspace{1em}(2)}$$
那么(1)式即
$$\ddot{y}=a+bU=a+\left(b_0+\Delta b\right)U=d+b_{0}U\text{\hspace{1em}(3)}$$

2. 增广状态空间的建立

记$x_1=y,x_2={\dot{x}}_1,x_3=d$，并设$\dot{d}=f$。那么有
$$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=x_2\\ {\dot{x}}_2=x_3+b_{0}U\\ {\dot{x}}_3=f\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$由此可见，不确定项$d$作为状态之一参与到了状态空间(4)中。此时如果设立一个状态观测器，就可以对其进行观测了。

3. 扩张状态观测器的建立

考虑具有如下形式的扩张状态观测器：
$$\{\begin{array}{l}\dot{{\hat{x}}_1}={\hat{x}}_2+{\beta }_1{g}_1(e_1)\\ \dot{{\hat{x}}_2}={\hat{x}}_3+{\beta }_2{g}_2(e)+b_{0}U\\ \dot{{\hat{x}}_3}={\beta }_3{g}_3(e)\\ \hat{y}={\hat{x}}_1\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$其中$e=y=\hat{y}=x_1-{\hat{x}}_1$，${\beta }_i$为增益。

一般地，把$g_i$选为：
$$g_i\left(e,{\alpha }_i,\delta \right)=\{\begin{array}{l}|e{|}^{{\alpha }_i}sgn(e),|e|>\delta \\ \frac{e}{{\delta }^{1-{\alpha }_i}},|e|\le \delta \end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$且$0<{\alpha }_i<1$。

4. 重构柯西方程组

令$x_e={\left[\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\end{array}\right]}^T$，则
$$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_e=A_e{x}_e+B_{e}U+B_{f}f\\ y=C_e{x}_e\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$其中
$$A_e=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right],B_e=\left[\begin{array}{c}0\\ b_0\\ 0\end{array}\right]$$$$B_f=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right],C_e=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\end{array}\right]$$另一方面，观测器具有如下形式
$$\{\begin{array}{l}\dot{{\hat{x}}_e}=A_e{\hat{x}}_e+B_{e}U+Le\\ \hat{y}=C_e{\hat{x}}_e\end{array}\text{\hspace{1em}(8)}$$其中$L={\left[\begin{array}{ccc}{\beta }_1& {\beta }_2& {\beta }_3\end{array}\right]}^T$。

将(7)(8)联立，设$e_0=x_e-{\hat{x}}_e$，则
$$\begin{array}{rl}{\dot{e}}_0& ={\dot{x}}_e-\dot{{\hat{x}}_e}\\ & =A_e{x}_e+B_{e}U+B_{f}f-A_e{\hat{x}}_e-B_{e}U-Le\\ & =A_e\left(x_e-{\hat{x}}_e\right)+B_{f}f-L\left(y-\hat{y}\right)\\ & =A_e\left(x_e-{\hat{x}}_e\right)+B_{f}f-L\left(C_e{x}_e-C_e{\hat{x}}_e\right)\\ & =\left(A_e-L{C}_e\right)\left(x_e-{\hat{x}}_e\right)+B_{f}f\\ & =\left(A_e-L{C}_e\right)e_0+B_{f}f\end{array}\text{\hspace{1em}(9)}$$式中$A_e,C_e$已知，故可以通过设计$L$来使得${\dot{e}}_0$稳定。而当${\dot{e}}_0$稳定时，即为${\hat{x}}_e\to x_e$。