机器学习算法与Python实践之k均值聚类(k-means)

机器学习算法与Python实践之(五)k均值聚类(k-means)

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       机器学习算法与Python实践这个系列主要是参考《机器学习实战》这本书。因为自己想学习Python,然后也想对一些机器学习算法加深下了解,所以就想通过Python来实现几个比较常用的机器学习算法。恰好遇见这本同样定位的书籍,所以就参考这本书的过程来学习了。

       机器学习中有两类的大问题,一个是分类,一个是聚类。分类是根据一些给定的已知类别标号的样本,训练某种学习机器,使它能够对未知类别的样本进行分类。这属于supervised learning(监督学习)。而聚类指事先并不知道任何样本的类别标号,希望通过某种算法来把一组未知类别的样本划分成若干类别,这在机器学习中被称作 unsupervised learning (无监督学习)。在本文中,我们关注其中一个比较简单的聚类算法:k-means算法。

 

一、k-means算法

       通常,人们根据样本间的某种距离或者相似性来定义聚类,即把相似的(或距离近的)样本聚为同一类,而把不相似的(或距离远的)样本归在其他类。

       我们以一个二维的例子来说明下聚类的目的。如下图左所示,假设我们的n个样本点分布在图中所示的二维空间。从数据点的大致形状可以看出它们大致聚为三个cluster,其中两个紧凑一些,剩下那个松散一些。我们的目的是为这些数据分组,以便能区分出属于不同的簇的数据,如果按照分组给它们标上不同的颜色,就是像下图右边的图那样:

       如果人可以看到像上图那样的数据分布,就可以轻松进行聚类。但我们怎么教会计算机按照我们的思维去做同样的事情呢?这里就介绍个集简单和经典于一身的k-means算法。

       k-means算法是一种很常见的聚类算法,它的基本思想是:通过迭代寻找k个聚类的一种划分方案,使得用这k个聚类的均值来代表相应各类样本时所得的总体误差最小。

       k-means算法的基础是最小误差平方和准则。其代价函数是:

       式中,μc(i)表示第i个聚类的均值。我们希望代价函数最小,直观的来说,各类内的样本越相似,其与该类均值间的误差平方越小,对所有类所得到的误差平方求和,即可验证分为k类时,各聚类是否是最优的。

      上式的代价函数无法用解析的方法最小化,只能有迭代的方法。k-means算法是将样本聚类成 k个簇(cluster),其中k是用户给定的,其求解过程非常直观简单,具体算法描述如下:

1、随机选取 k个聚类质心点

2、重复下面过程直到收敛  {

      对于每一个样例 i,计算其应该属于的类:

      对于每一个类 j,重新计算该类的质心:

}

      下图展示了对n个样本点进行K-means聚类的效果,这里k取2。

其伪代码如下:

********************************************************************

创建k个点作为初始的质心点(随机选择)

当任意一个点的簇分配结果发生改变时

       对数据集中的每一个数据点

              对每一个质心

                     计算质心与数据点的距离

              将数据点分配到距离最近的簇

       对每一个簇,计算簇中所有点的均值,并将均值作为质心

********************************************************************

 

二、Python实现

      我使用的Python是2.7.5版本的。附加的库有Numpy和Matplotlib。具体的安装和配置见前面的博文。在代码中已经有了比较详细的注释了。不知道有没有错误的地方,如果有,还望大家指正(每次的运行结果都有可能不同)。里面我写了个可视化结果的函数,但只能在二维的数据上面使用。直接贴代码:

kmeans.py

[python] view plain copy
print ?
  1. #################################################  
  2. # kmeans: k-means cluster  
  3. # Author : zouxy  
  4. # Date   : 2013-12-25  
  5. # HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09  
  6. # Email  : [email protected]  
  7. #################################################  
  8.   
  9. from numpy import *  
  10. import time  
  11. import matplotlib.pyplot as plt  
  12.   
  13.   
  14. # calculate Euclidean distance  
  15. def euclDistance(vector1, vector2):  
  16.     return sqrt(sum(power(vector2 - vector1, 2)))  
  17.   
  18. # init centroids with random samples  
  19. def initCentroids(dataSet, k):  
  20.     numSamples, dim = dataSet.shape  
  21.     centroids = zeros((k, dim))  
  22.     for i in range(k):  
  23.         index = int(random.uniform(0, numSamples))  
  24.         centroids[i, :] = dataSet[index, :]  
  25.     return centroids  
  26.   
  27. # k-means cluster  
  28. def kmeans(dataSet, k):  
  29.     numSamples = dataSet.shape[0]  
  30.     # first column stores which cluster this sample belongs to,  
  31.     # second column stores the error between this sample and its centroid  
  32.     clusterAssment = mat(zeros((numSamples, 2)))  
  33.     clusterChanged = True  
  34.   
  35.     ## step 1: init centroids  
  36.     centroids = initCentroids(dataSet, k)  
  37.   
  38.     while clusterChanged:  
  39.         clusterChanged = False  
  40.         ## for each sample  
  41.         for i in xrange(numSamples):  
  42.             minDist  = 100000.0  
  43.             minIndex = 0  
  44.             ## for each centroid  
  45.             ## step 2: find the centroid who is closest  
  46.             for j in range(k):  
  47.                 distance = euclDistance(centroids[j, :], dataSet[i, :])  
  48.                 if distance < minDist:  
  49.                     minDist  = distance  
  50.                     minIndex = j  
  51.               
  52.             ## step 3: update its cluster  
  53.             if clusterAssment[i, 0] != minIndex:  
  54.                 clusterChanged = True  
  55.                 clusterAssment[i, :] = minIndex, minDist**2  
  56.   
  57.         ## step 4: update centroids  
  58.         for j in range(k):  
  59.             pointsInCluster = dataSet[nonzero(clusterAssment[:, 0].A == j)[0]]  
  60.             centroids[j, :] = mean(pointsInCluster, axis = 0)  
  61.   
  62.     print 'Congratulations, cluster complete!'  
  63.     return centroids, clusterAssment  
  64.   
  65. # show your cluster only available with 2-D data  
  66. def showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment):  
  67.     numSamples, dim = dataSet.shape  
  68.     if dim != 2:  
  69.         print "Sorry! I can not draw because the dimension of your data is not 2!"  
  70.         return 1  
  71.   
  72.     mark = ['or''ob''og''ok''^r''+r''sr''dr'''pr']  
  73.     if k > len(mark):  
  74.         print "Sorry! Your k is too large! please contact Zouxy"  
  75.         return 1  
  76.   
  77.     # draw all samples  
  78.     for i in xrange(numSamples):  
  79.         markIndex = int(clusterAssment[i, 0])  
  80.         plt.plot(dataSet[i, 0], dataSet[i, 1], mark[markIndex])  
  81.   
  82.     mark = ['Dr''Db''Dg''Dk''^b''+b''sb''db'''pb']  
  83.     # draw the centroids  
  84.     for i in range(k):  
  85.         plt.plot(centroids[i, 0], centroids[i, 1], mark[i], markersize = 12)  
  86.   
  87.     plt.show()  
#################################################
# kmeans: k-means cluster
# Author : zouxy
# Date   : 2013-12-25
# HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09
# Email  : [email protected]
#################################################

from numpy import *
import time
import matplotlib.pyplot as plt


# calculate Euclidean distance
def euclDistance(vector1, vector2):
	return sqrt(sum(power(vector2 - vector1, 2)))

# init centroids with random samples
def initCentroids(dataSet, k):
	numSamples, dim = dataSet.shape
	centroids = zeros((k, dim))
	for i in range(k):
		index = int(random.uniform(0, numSamples))
		centroids[i, :] = dataSet[index, :]
	return centroids

# k-means cluster
def kmeans(dataSet, k):
	numSamples = dataSet.shape[0]
	# first column stores which cluster this sample belongs to,
	# second column stores the error between this sample and its centroid
	clusterAssment = mat(zeros((numSamples, 2)))
	clusterChanged = True

	## step 1: init centroids
	centroids = initCentroids(dataSet, k)

	while clusterChanged:
		clusterChanged = False
		## for each sample
		for i in xrange(numSamples):
			minDist  = 100000.0
			minIndex = 0
			## for each centroid
			## step 2: find the centroid who is closest
			for j in range(k):
				distance = euclDistance(centroids[j, :], dataSet[i, :])
				if distance < minDist:
					minDist  = distance
					minIndex = j
			
			## step 3: update its cluster
			if clusterAssment[i, 0] != minIndex:
				clusterChanged = True
				clusterAssment[i, :] = minIndex, minDist**2

		## step 4: update centroids
		for j in range(k):
			pointsInCluster = dataSet[nonzero(clusterAssment[:, 0].A == j)[0]]
			centroids[j, :] = mean(pointsInCluster, axis = 0)

	print 'Congratulations, cluster complete!'
	return centroids, clusterAssment

# show your cluster only available with 2-D data
def showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment):
	numSamples, dim = dataSet.shape
	if dim != 2:
		print "Sorry! I can not draw because the dimension of your data is not 2!"
		return 1

	mark = ['or', 'ob', 'og', 'ok', '^r', '+r', 'sr', 'dr', ' len(mark):
		print "Sorry! Your k is too large! please contact Zouxy"
		return 1

	# draw all samples
	for i in xrange(numSamples):
		markIndex = int(clusterAssment[i, 0])
		plt.plot(dataSet[i, 0], dataSet[i, 1], mark[markIndex])

	mark = ['Dr', 'Db', 'Dg', 'Dk', '^b', '+b', 'sb', 'db', '


三、测试结果

      测试数据是二维的,共80个样本。有4个类。如下:

testSet.txt

[python] view plain copy
print ?
  1. 1.658985    4.285136  
  2. -3.453687   3.424321  
  3. 4.838138    -1.151539  
  4. -5.379713   -3.362104  
  5. 0.972564    2.924086  
  6. -3.567919   1.531611  
  7. 0.450614    -3.302219  
  8. -3.487105   -1.724432  
  9. 2.668759    1.594842  
  10. -3.156485   3.191137  
  11. 3.165506    -3.999838  
  12. -2.786837   -3.099354  
  13. 4.208187    2.984927  
  14. -2.123337   2.943366  
  15. 0.704199    -0.479481  
  16. -0.392370   -3.963704  
  17. 2.831667    1.574018  
  18. -0.790153   3.343144  
  19. 2.943496    -3.357075  
  20. -3.195883   -2.283926  
  21. 2.336445    2.875106  
  22. -1.786345   2.554248  
  23. 2.190101    -1.906020  
  24. -3.403367   -2.778288  
  25. 1.778124    3.880832  
  26. -1.688346   2.230267  
  27. 2.592976    -2.054368  
  28. -4.007257   -3.207066  
  29. 2.257734    3.387564  
  30. -2.679011   0.785119  
  31. 0.939512    -4.023563  
  32. -3.674424   -2.261084  
  33. 2.046259    2.735279  
  34. -3.189470   1.780269  
  35. 4.372646    -0.822248  
  36. -2.579316   -3.497576  
  37. 1.889034    5.190400  
  38. -0.798747   2.185588  
  39. 2.836520    -2.658556  
  40. -3.837877   -3.253815  
  41. 2.096701    3.886007  
  42. -2.709034   2.923887  
  43. 3.367037    -3.184789  
  44. -2.121479   -4.232586  
  45. 2.329546    3.179764  
  46. -3.284816   3.273099  
  47. 3.091414    -3.815232  
  48. -3.762093   -2.432191  
  49. 3.542056    2.778832  
  50. -1.736822   4.241041  
  51. 2.127073    -2.983680  
  52. -4.323818   -3.938116  
  53. 3.792121    5.135768  
  54. -4.786473   3.358547  
  55. 2.624081    -3.260715  
  56. -4.009299   -2.978115  
  57. 2.493525    1.963710  
  58. -2.513661   2.642162  
  59. 1.864375    -3.176309  
  60. -3.171184   -3.572452  
  61. 2.894220    2.489128  
  62. -2.562539   2.884438  
  63. 3.491078    -3.947487  
  64. -2.565729   -2.012114  
  65. 3.332948    3.983102  
  66. -1.616805   3.573188  
  67. 2.280615    -2.559444  
  68. -2.651229   -3.103198  
  69. 2.321395    3.154987  
  70. -1.685703   2.939697  
  71. 3.031012    -3.620252  
  72. -4.599622   -2.185829  
  73. 4.196223    1.126677  
  74. -2.133863   3.093686  
  75. 4.668892    -2.562705  
  76. -2.793241   -2.149706  
  77. 2.884105    3.043438  
  78. -2.967647   2.848696  
  79. 4.479332    -1.764772  
  80. -4.905566   -2.911070  
1.658985	4.285136
-3.453687	3.424321
4.838138	-1.151539
-5.379713	-3.362104
0.972564	2.924086
-3.567919	1.531611
0.450614	-3.302219
-3.487105	-1.724432
2.668759	1.594842
-3.156485	3.191137
3.165506	-3.999838
-2.786837	-3.099354
4.208187	2.984927
-2.123337	2.943366
0.704199	-0.479481
-0.392370	-3.963704
2.831667	1.574018
-0.790153	3.343144
2.943496	-3.357075
-3.195883	-2.283926
2.336445	2.875106
-1.786345	2.554248
2.190101	-1.906020
-3.403367	-2.778288
1.778124	3.880832
-1.688346	2.230267
2.592976	-2.054368
-4.007257	-3.207066
2.257734	3.387564
-2.679011	0.785119
0.939512	-4.023563
-3.674424	-2.261084
2.046259	2.735279
-3.189470	1.780269
4.372646	-0.822248
-2.579316	-3.497576
1.889034	5.190400
-0.798747	2.185588
2.836520	-2.658556
-3.837877	-3.253815
2.096701	3.886007
-2.709034	2.923887
3.367037	-3.184789
-2.121479	-4.232586
2.329546	3.179764
-3.284816	3.273099
3.091414	-3.815232
-3.762093	-2.432191
3.542056	2.778832
-1.736822	4.241041
2.127073	-2.983680
-4.323818	-3.938116
3.792121	5.135768
-4.786473	3.358547
2.624081	-3.260715
-4.009299	-2.978115
2.493525	1.963710
-2.513661	2.642162
1.864375	-3.176309
-3.171184	-3.572452
2.894220	2.489128
-2.562539	2.884438
3.491078	-3.947487
-2.565729	-2.012114
3.332948	3.983102
-1.616805	3.573188
2.280615	-2.559444
-2.651229	-3.103198
2.321395	3.154987
-1.685703	2.939697
3.031012	-3.620252
-4.599622	-2.185829
4.196223	1.126677
-2.133863	3.093686
4.668892	-2.562705
-2.793241	-2.149706
2.884105	3.043438
-2.967647	2.848696
4.479332	-1.764772
-4.905566	-2.911070

测试代码:

test_kmeans.py

[python] view plain copy
print ?
  1. #################################################  
  2. # kmeans: k-means cluster  
  3. # Author : zouxy  
  4. # Date   : 2013-12-25  
  5. # HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09  
  6. # Email  : [email protected]  
  7. #################################################  
  8.   
  9. from numpy import *  
  10. import time  
  11. import matplotlib.pyplot as plt  
  12.   
  13. ## step 1: load data  
  14. print "step 1: load data..."  
  15. dataSet = []  
  16. fileIn = open('E:/Python/Machine Learning in Action/testSet.txt')  
  17. for line in fileIn.readlines():  
  18.     lineArr = line.strip().split('\t')  
  19.     dataSet.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])  
  20.   
  21. ## step 2: clustering...  
  22. print "step 2: clustering..."  
  23. dataSet = mat(dataSet)  
  24. k = 4  
  25. centroids, clusterAssment = kmeans(dataSet, k)  
  26.   
  27. ## step 3: show the result  
  28. print "step 3: show the result..."  
  29. showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment)  
#################################################
# kmeans: k-means cluster
# Author : zouxy
# Date   : 2013-12-25
# HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09
# Email  : [email protected]
#################################################

from numpy import *
import time
import matplotlib.pyplot as plt

## step 1: load data
print "step 1: load data..."
dataSet = []
fileIn = open('E:/Python/Machine Learning in Action/testSet.txt')
for line in fileIn.readlines():
	lineArr = line.strip().split('\t')
	dataSet.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])

## step 2: clustering...
print "step 2: clustering..."
dataSet = mat(dataSet)
k = 4
centroids, clusterAssment = kmeans(dataSet, k)

## step 3: show the result
print "step 3: show the result..."
showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment)

运行的前后结果是:

不同的类用不同的颜色来表示,其中的大菱形是对应类的均值质心点。

 

四、算法分析

       k-means算法比较简单,但也有几个比较大的缺点:

(1)k值的选择是用户指定的,不同的k得到的结果会有挺大的不同,如下图所示,左边是k=3的结果,这个就太稀疏了,蓝色的那个簇其实是可以再划分成两个簇的。而右图是k=5的结果,可以看到红色菱形和蓝色菱形这两个簇应该是可以合并成一个簇的:

(2)对k个初始质心的选择比较敏感,容易陷入局部最小值。例如,我们上面的算法运行的时候,有可能会得到不同的结果,如下面这两种情况。K-means也是收敛了,只是收敛到了局部最小值:

(3)存在局限性,如下面这种非球状的数据分布就搞不定了:

620

(4)数据库比较大的时候,收敛会比较慢。

       k-means老早就出现在江湖了。所以以上的这些不足也被世人的目光敏锐的捕捉到,并融入世人的智慧进行了某种程度上的改良。例如问题(1)对k的选择可以先用一些算法分析数据的分布,如重心和密度等,然后选择合适的k。而对问题(2),有人提出了另一个成为二分k均值(bisecting k-means)算法,它对初始的k个质心的选择就不太敏感,这个算法我们下一个博文再分析和实现。

 

五、参考文献

[1] K-means聚类算法

[2] 漫谈 Clustering (1): k-means

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