矩阵论 - 9 - 线性无关、基、维数

线性无关、基、维数

线性无关 Independence

假定有 \(m\times n\) 的矩阵 \(A\) ，以列向量形式表示：\(\begin{bmatrix}v_1 & v_2 & \cdots & v_n\end{bmatrix}\)。

• 如果 \(Ac=0\) 只有零解 \(c=0\)(即 \(A\) 零空间中有且仅有 \(0\) 向量)，则各向量线性无关。

  • 如果矩阵 \(A\) 的列向量为线性无关，则 \(A\) 所有的列均为主元列，没有自由列，矩阵的秩为n。\(rank(A)=n\)。

• 如果存在非零向量 \(c\) 使得 \(Ac=0\)，则存在线性相关向量。

  • 若 \(A\) 的列向量为线性相关，则矩阵的秩小于n，并且存在自由列。\(rank(A)\lt n\)。

例子：

在 \(\mathbb{R}^2\) 空间中，两个向量只要不在一条直线上就是线性无关的。

在 \(\mathbb{R}^3\) 空间中，三个向量线性无关的条件是它们不在一个平面上。

张成空间 Spanning a space

当一个空间是由向量 \(v_1,\ v_2,\ \cdots,\ v_k\) 的所有线性组合组成时，我们称这些向量张成了这个空间。例如矩阵的列向量张成了该矩阵的列空间。

如果向量 \(v_1,\ v_2,\ \cdots,\ v_k\) 张成空间 \(S\)，则 \(S\) 是包含这些向量的最小空间。

基与维数 Basis and dimension

向量空间的基(basis)是具有如下两个性质的一组向量 \(v_1,\ v_2,\ \cdots,\ v_d\) ：

1. 他们线性无关；
2. 他们可以张成(span)该向量空间。

空间的基告诉我们了空间的一切信息。

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对于向量空间 \(\mathbb{R}^n\)，如果 \(n\) 个向量组成的矩阵为可逆矩阵，则这 \(n\) 个向量为该空间的一组基，而数字 \(n\) 就是该空间的维数(dimension)。

对于任何矩阵 \(A\) 均有：矩阵的秩r=矩阵主元列的数目=列空间的维数

例子：
对于 \( A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \)，A的列向量线性相关，其零空间中有非零向量，所以 \(rank(A)=2=主元存在的列数=列空间维数\)。

可以求得 \(Ax=0\)​ 的两个解，即\( x_1= \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix}, x_2= \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \)

特解的个数就是自由变量的个数，所以\(n-rank(A)=2=自由变量存在的列数=零空间维数\)

所以有：列空间维数 \(dim C(A)=rank(A)\)，零空间维数 \(dim N(A)=n-rank(A)\)

总结

1. 线性无关与线性相关：
   • 线性无关：\(Ax=0\) 只存在 \(x=0\) 的解
   • 线性相关：\(Ax=0\) 存在解非 \(0\) 解
2. 对于向量空间 \(\mathbb{R}^n\)，如果 \(n\) 个向量组成的矩阵为可逆矩阵，则这 \(n\) 个向量为该空间的一组基，而数字 \(n\) 就是该空间的维数(dimension)。
3. 列空间维数 \(dim C(A)=rank(A)\)，零空间维数 \(dim N(A)=n-rank(A)\) 。

reference

[1] textbook

[2] mit18.06学习笔记-0

[3] mit18.06学习笔记-1