动手学深度学习-------学习记录（2）

自动求梯度

将Tensor 的属性.requires_grad设置为True，它将追踪在其上的所有操作。完成计算后，可以调用.backward()来完成所有梯度计算，梯度将积累到.grad属性中。

Tensor

创建一个Tensor并设置.requires_grad=True：

x = torch.ones(2, 2, requires_grad=True)
print(x)
print(x.grad_fn)

输出：

tensor([[1., 1.],
        [1., 1.]], requires_grad=True)
None

运算后：

y = x + 2
print(y)
print(y.grad_fn)

输出：

tensor([[3., 3.],
        [3., 3.]], grad_fn=)

注意x是直接创建的，所以它没有grad_fn, 而y是通过一个加法操作创建的，所以它有一个为的grad_fn。

z = y * y * 3
out = z.mean()
print(z, out)

输出：

tensor([[27., 27.],
        [27., 27.]], grad_fn=) tensor(27., grad_fn=)

print(x.is_leaf, y.is_leaf) # True False

通过.requires_grad_()来用in-place的方式改变requires_grad属性：

a = torch.randn(2, 2) # 缺失情况下默认 requires_grad = False
a = ((a * 3) / (a - 1))
print(a.requires_grad) # False
a.requires_grad_(True)
print(a.requires_grad) # True
b = (a * a).sum()
print(b.grad_fn)

输出：

False
True

梯度

因为out是一个标量，所以调用backward()时不需要指定求导变量：

out.backward() # 等价于 out.backward(torch.tensor(1.))
print(x.grad)

输出：

tensor([[4.5000, 4.5000],
        [4.5000, 4.5000]])

我们令out为 $o$ , 因为
$$o=\frac{1}{4}\sum _{i=1}^4{z}_i=\frac{1}{4}\sum _{i=1}^{4}3(x_i+2{)}^2$$
所以
$$\frac{\partial o}{\partial x_i}{|}_{x_i=1}=\frac{9}{2}=4.5$$
所以上面的输出是正确的。
数学上，如果有一个函数值和自变量都为向量的函数 $y=f(x)$, 那么 $y$ 关于 $x$ 的梯度就是一个雅可比矩阵（Jacobian matrix）:

$$J=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial y_1}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n}\end{array}\right)$$

而torch.autograd这个包就是用来计算一些雅克比矩阵的乘积的。例如，如果 $v$ 是一个标量函数的 $l=g\left(y\right)$ 的梯度：

$$v=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial l}{\partial y_1}& \cdots & \frac{\partial l}{\partial y_m}\end{array}\right)$$

那么根据链式法则我们有 $l$ 关于 $x$ 的雅克比矩阵就为:

$$v\cdot J=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial l}{\partial y_1}& \cdots & \frac{\partial l}{\partial y_m}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial y_1}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial l}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial l}{\partial x_n}\end{array}\right)$$
注意：grad在反向传播过程中是累加的(accumulated)，这意味着每一次运行反向传播，梯度都会累加之前的梯度，所以一般在反向传播之前需把梯度清零。

# 再来反向传播一次，注意grad是累加的
out2 = x.sum()
out2.backward()
print(x.grad)

out3 = x.sum()
x.grad.data.zero_()
out3.backward()
print(x.grad)

tensor([[5.5000, 5.5000],
        [5.5000, 5.5000]])
tensor([[1., 1.],
        [1., 1.]])

x = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0, 4.0], requires_grad=True)
y = 2 * x
z = y.view(2, 2)
print(z)

tensor([[2., 4.],
        [6., 8.]], grad_fn=)

现在 y 不是一个标量，所以在调用backward时需要传入一个和y同形的权重向量进行加权求和得到一个标量。

v = torch.tensor([[1.0, 0.1], [0.01, 0.001]], dtype=torch.float)
z.backward(v)

print(x.grad)

tensor([2.0000, 0.2000, 0.0200, 0.0020])

再来看看中断梯度追踪的例子：

x = torch.tensor(1.0, requires_grad=True)
y1 = x ** 2 
with torch.no_grad():
    y2 = x ** 3
y3 = y1 + y2
    
print(x, x.requires_grad)
print(y1, y1.requires_grad)
print(y2, y2.requires_grad)
print(y3, y3.requires_grad)

tensor(1., requires_grad=True) True
tensor(1., grad_fn=) True
tensor(1.) False
tensor(2., grad_fn=) True

y3.backward()
print(x.grad)

tensor(2.)

为什么是2呢？$ y_3 = y_1 + y_2 = x^2 + x^3$，当 $x=1$ 时 $\frac{d{y}_3}{dx}$ 不应该是5吗？事实上，由于 $y_2$ 的定义是被torch.no_grad():包裹的，所以与 $y_2$ 有关的梯度是不会回传的，只有与 $y_1$ 有关的梯度才会回传，即 $x^2$ 对 $x$ 的梯度。

上面提到，y2.requires_grad=False，所以不能调用 y2.backward()。
如果我们想要修改tensor的数值，但是又不希望被autograd记录（即不会影响反向传播），那么我么可以对tensor.data进行操作.

x = torch.ones(1,requires_grad=True)

print(x.data) # 还是一个tensor
print(x.data.requires_grad) # 但是已经是独立于计算图之外

y = 2 * x
x.data *= 100 # 只改变了值，不会记录在计算图，所以不会影响梯度传播

y.backward()
print(x) # 更改data的值也会影响tensor的值
print(x.grad)

tensor([1.])
False
tensor([100.], requires_grad=True)
tensor([2.])