数据结构（六）图

1 定义

有向图、无向图、相邻的、出度、入度、路径、简单路径、子图、母图、支撑子图、连通、AOV网、拓扑序列、AOE网、关键路径、源点、汇点

2 图的储存结构

2.1 邻接矩阵

矩阵i行j列的数字是${}_i$,v${}_j$>的权值，如果是无权图就是1与0，且a${}_{ii}$永远为0。

如果是无向图，那就是对称矩阵。

2.2 邻接表

每一个点作为一个链表头【下标，指针】，后面跟着这个点指向的所有结点【下标，距离，指针】，即通过存储n个头结点记录n行链表。

3 图的遍历方法

3.1 深度优先遍历

深度优先遍历是优先向更深的地方遍历。为了防止有环出现导致图的遍历永远无法停止，所以要用visited数组记录该结点是否被遍历过。

3.1.1 递归

void dfs(int i){		//i是标号
	p = Head[i]->next;	//遍历邻接表中第i行链表
	while(p){			//遍历以i为头结点的链表
		if(!visited[p->data]){		//如果没访问过这个结点
			visited[p->data]=1;		//标记访问结点
			dfs(p->data);			//递归访问这个结点
		}
		p = p->next;
	}
}

3.1.2 非递归

用堆栈实现，将最开始的结点入栈。

每次弹出一个结点，并将其所有指向的结点都入栈，入栈时要记得更新visited防止结点重复入栈，直到栈空遍历结束。

3.2 广度优先遍历

用队列实现，将最开始的结点入队。

每次弹出一个结点，并将其所有指向的结点都入队，入队时要记得更新visited防止结点重复入队，直到队空遍历结束。

（这三行是从3.1.2复制过来改的）

4 拓扑排序

是指，有向图的边表示任务的先后关系，并且要一个序列，满足其所有前后关系。

思路：找到入度为0的结点，将这个结点（有多个结点随便选一个即可）放入序列，并且在图中删除这个结点，删除这个结点指向其他结点的线。一直删没。如果还剩余结点，那就证明图中有环。（判断图中是否有环的方式）

5 关键路径

在AOV网的基础上，把每条线赋值为活动需要的时间，得到AOE网。

需要注意的是，在AOV网那一节中，每个结点是一个活动，而在AOE网这节中，每条线是一个活动，其值为活动的时间。

5.1 画图的思想

一、计算每个活动的最早开始时间，即计算所有他的前置活动都需要做完的最晚时刻（多个值中的最大值）。

如果无法理解，那么如下图的例子中：T2的到达时间是6，做完a4到达T5的时间最早是7，T3的到达时间是4，做完a5到达T5的时间最早是5。而T5需要让a4和a5都做完之后才能做，所以即使a5做完时刻是5，也要等a4做完，于是a8和a9的最早开始时间T5都为7。

如下图（从左至右计算，我没画箭头，这是一个有向图，理解就好）：

二、计算每个活动的最晚开始时间，这要借助刚刚通过计算时刻找到的到达汇点的时刻，并且向前推出，每个活动的最晚开始时间。

三、对比两个图，找到两个图中，活动的开始时刻一样的点（例a4的开始时刻为T2上橙色的数字6），所有点连成的路线即为这个图的关键路径。（可以有多条关键路径）

5.2 代码的思想

1.在读取图中的线的时候，就记录每个点的入度和出度。

2.找一个入度为0的点，计算以该点为起点的每条线结束后到达下一个点的值，记为新值，并且删除这条线，如果新值比已有值更大则更新。（入度的思路和拓扑排序有借鉴之处）

例： 最开始T1=0，计算出T2=6，T3=4，T4=5。找到此时入度为0的T3，计算出T5=5；找到入度为0的T2，计算出T5=7>5，更新T5=7。此时T5入度才为0，才可以确定T5最终的值为7，以T5为起点继续计算。

3.反过来的时候就是，找一个出度为0的点，计算该点作为终点的前一个点的值，找每个点的最小值。

4.以上两个用两个数组存即可，比较两个数组中哪个下标的值相同即为关键路径。

6 最短路径问题

6.1 无权最短路径问题

从一个点广度优先遍历，记录遍历层，获得该点需要从起始点走几步。

如果需要输出路径，可以通过寻找，该结点记录的步数为n，寻找终点为该节点，起点的步数记录为n-1的线，递归找到起点，反向输出路径。

6.2 正权最短路径问题（dijkstra）

这里是说是正权，无论图是有向还是无向，都可以用dijkstra算法。

visited记录是否已经遍历过该点，dist记录起点到达该点的路径长度，path记录这个点的路径长度是由哪个点走过来的。

1.全部初始化visited=0，dist=-1，path=-1。
2.首先找到起点，dist记录为0。

3.循环
【找到dist最小的一个点a，更新这个点的visited=0。
遍历a的所有连线中，另一个点b的visited=0的，计算b.dist与 a.dist+ 谁小（dist=-1算作无穷大），如果后者更小，那么更新b.dist，以及b.path=a】

4.当找不到dist != -1的点时，循环结束。

5.如果想找到从起点到某点的路径，就一直找path值直到某次path=-1为止。

6.3 每对顶点之间最短路径

dijkstra可以求得一个点到其他所有点的最短距离和路径，如果寻找全部点需要以每个点开头运行一遍，但接下来这个算法可以寻找所有点之间的最短距离和路径。

遍历n个点，寻找是否这个点可以作为中间点缩短两个点之间的距离。即，在关注点k的时候，寻找是否存在点i和j，a[i][k]+a[k][j]

这里比较不好理解的是path，是指i到j这一整条路径上j的前一个点，比如i->j的路线为i->h->k->j，则path[i][j]=k。

for(int k=0;k

6.4 满足约束的最短路径

不想更这个了，感觉用处不大。

7 最小支撑树

7.1 普利姆算法（一个集合）

第一次找到最短的边，边的两点加入集合，每次寻找距离集合最短的点（比如集合中存在i，j两点，i->k=3,j->k=2，那么k到集合的距离就是2），直到所有的点进入集合。

7.2 克鲁斯卡尔算法（多个集合）

最开始每个点都是一个集合，每次都寻找最短的边，如果边的两点不属于同一个集合，就把两个并为同一个集合（并查集），直到图中只剩下一个集合。