层次聚类概述

层次聚类

• 层次聚类（hierarchical clustering）试图在不同层次对数据集进行划分，从而形成树形的聚类结构，
• 数据集的划分可采用“自底向上（合并）”的聚合策略，也可采用“自顶向下（拆分）”的分析策略。依据采用的策略可以将层次聚类方法分为：
  • 聚合式聚类（agglomerative clustering）
  • 分拆式聚类（divisive clustering）
• 两种方法均是启发式的策略，没有去优化一个明确的目标函数来实现聚类，很难严格评价聚类的效果。
• 层次聚类得到的结果是 "树状图"

根据不同虚线的位置，可以得到不同数量的聚类

聚合式聚类

• 在开始时把每个样本都每个样本都当成一簇，然后在每一次迭代中将最相似的（距离最近）的两个簇合并，直到把所有簇合并为包含所有样本的一簇

流程：

1. 将每个样本看做一个簇: $C_i\leftarrow \{i\},i=1,2,...,n$
2. 初始化可供合并的簇集：$S\leftarrow \{1,2,...,n\}$
3. 计算出簇间距离矩阵
4. 重复迭代如下步骤直至没有可供合并的簇：
   1. 选择两个最相似的簇进行合并：$(j,k)\leftarrow arg{\min }_{j,k\in S}{d}_{j,k}$
   2. 创建新簇 $C_l\leftarrow C_j\cup C_k$
   3. 从 $S$ 中取出已合并的$j$和$k$：$S\leftarrow S\setminus \{j,k\}$
   4. 如果$C_l\ne \{1,2,...,n\}$，那么增加一个可合并集$S\leftarrow S\cup \{l\}$
   5. 对于每个$i\in S$ ，更新簇间距离矩阵$d(i,l)$

簇间距离的计算

单链接(single-linkage)

​ 也称为最近邻距离，即簇$G$ 和簇$H$之间的距离定义为两簇之间最近的成员之间的距离：
$$d_{sl}(G,h)=\underset{i\in G,i^{{}^{\prime }}\in H}{\min }{d}_{i,i^{{}^{\prime }}}$$

全链接(complete-linkage)

​ 也称为最远邻距离，即簇G和簇H之间的距离定义为两簇之间最远的成员之间的距离。
$$d_{cl}(G,H)=\underset{i\in G,i^{{}^{\prime }}\in H}{\max }{d}_{i,i^{{}^{\prime }}}$$

平均链接(average-linkage)

• 表示两簇之间所有成员对的平均距离

$$d_{avg}(G,H)=\frac{1}{n_G{n}_H}\sum _{i\in G}\sum _{i^{{}^{\prime }}\in H}{d}_{i,i^{{}^{\prime }}}$$

• $n_G$ 和$n_H$ 是簇G和簇H的样本个数。

三种距离方式的比较

• 单链接(single-linkage)
  • 只需要考虑两簇之间有成员对距离足够近就将两簇合并，而并没有考虑其他簇内其他成员的距离。因此单连接法形成的簇很有可能违背紧致性特征，即簇内成员应该尽可能相似
• 全连接法（complete-linkage）：
  • 只有两簇的联合的成员间的距离相对较小时，才将两簇合并，因此完整连接法倾向于生成紧致簇
• 均连接法（average-linkage）
  • 介于单连接和全连接之间的方法
  • 易于生成相对紧致的簇同时簇间距离较远。

分拆式聚类

​ 分拆聚类将所有样本集合看作一簇，以自上而下的方式，递归地将现有的簇分拆为两个子簇。

​ 利用不同的启发式方法进行分拆方式的选择：

• 二分K-means聚类

  • 选择半径最大的簇，对该簇进行K（2）-means聚类分为两个子簇
  • 重复此过程直到到达想要的簇个数

• 最小生成树法

  • 将每个样本看作一个图节点，将样本间距离看作节点边的权重，根据此图建立最小生成树。
  • 从权重最大处将该簇分拆为两簇，然后重复此过程直到达到想要的簇个数。实际上，该方法得到的聚类结果和单连接的聚合聚类得到的结果一致。

层次聚类算法总结

• 层次聚类一次性地得到了整个聚类的过程，想要分多少个簇都可以直接根据“树状图”来得到结果，改变簇的数目不再需要再次计算数据点的归属类别；
• 单连接和全连接代表了簇间距离度量的两个极端，它们对离群点或噪声数据过分敏感
• 平均连接时一种计算量大，而且错分在层次聚类中时不可修正的，一旦某个样本被分到某个聚类中，则该样本永远停留在该聚类中。
• 层次聚类的缺点是：
  • 计算量大
  • 而且错分在聚合式聚类中是不可修正的，一旦某个样本被分到某个聚类中，则该样本永远停留在该聚类中。