BSpline曲线逼近

在逼近问题中，曲线的误差界限$E$和要拟合的数据一起被输入。一般预先并不知道需要多少个控制点才能达到预期的精度$E$，因此逼近一般都需要通过迭代来实现。

给定一个确定的控制点数目，比如$n$，构造曲线逼近给定的数据。有很多方法可以完成这一任务。例如，可建立一个非线性优化问题，以控制点、参数值${\overline{u}}_k$、节点甚至权值作为未知量，而要最小化的目标函数通常是某种形式的误差的度量，例如误差的平方和或最大偏差。在下面将介绍的曲线逼近方法中，只有固定数目的控制点是未知的，并且它们通过线性最小二乘技术来求解。

最小二乘曲线逼近

为了避免非线性问题，我们设定权值为1，并预先计算好数据点的参数值和节点矢量，然后，建立线性最小二乘问题来求解未知控制点。假定$p⩾1,n⩾p$，并且给定数据点$Q_0,\cdots ,Q_m\left(m⩾n\right)$。 我们试图寻求一条$p$次BSpline曲线
$$C\left(u\right)=\sum _{i=0}^n{N}_{i,p}\left(u\right)P_i,u\in \left[0,1\right]$$
满足条件

$\bullet Q_0=C(0)=P_0,Q_m=C(1)=P_n$；

$\bullet$其余的数据点$Q_k$在最小二乘的意义下被逼近，即
$$\sum _{k=1}^{m-1}{\left|Q_k-C({\overline{u}}_k)\right|}^2$$
关于$n+1$个变量$P_i$达到最小；$\{{\overline{u}}_k\}$是预先计算好的参数值。

在此我们要强调，生成的曲线一般不精确地通过数据点$Q_k$，并且，一般$C({\overline{u}}_k)$不是曲线上与$Q_k$最接近的点。令
$$R_k=Q_k-N_{0,p}\left({\overline{u}}_k\right)Q_0-N_{n,p}\left({\overline{u}}_k\right)Q_m,k=1,\cdots ,m-1$$
然后令
$$\begin{array}{rl}f=& \sum _{k=1}^{m-1}|Q_k-C({\overline{u}}_k){|}^2=\sum _{k=1}^{m-1}{\left|R_k-\sum _{i=1}^{n-1}{N}_{i,p}({\overline{u}}_k)P_i\right|}^2\\ =& \sum _{k=1}^{m-1}\left(R_k-\sum _{i=1}^{n-1}{N}_{i,p}({\overline{u}}_k)P_i\right)\left(R_k-\sum _{i=1}^{n-1}{N}_{i,p}({\overline{u}}_k)P_i\right)\\ =& \sum _{k=1}^{m-1}\left[R_k\cdot R_k-2\sum _{i=1}^{n-1}{N}_{i,p}({\overline{u}}_k)(R_k\cdot P_i)+\left(\sum _{i=1}^{n-1}{N}_{i,p}({\overline{u}}_k)P_i\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n-1}{N}_{i,p}({\overline{u}}_k)P_i\right)\right]\end{array}$$
$f$是关于$n-1$个变量$P_1,\cdots ,P_{n-1}$的标量值函数。现我们应用标准的线性最小二乘拟合技术，为使目标函数$f$最小，我们令$f$关于$n-1$个未知控制点$P_l$的偏导都等于零。它的第$l$ 个偏导为
$$\frac{\partial f}{\partial P_l}=\sum _{k=1}^{m-1}\left(-2N_{l,p}({\overline{u}}_k)R_k+2N_{l,p}({\overline{u}}_k)\sum _{i=1}^{n-1}{N}_{i,p}({\overline{u}}_k)P_i\right)$$
这意味着
$$-\sum _{k=1}^{m-1}{N}_{l,p}({\overline{u}}_k)R_k+\sum _{k=1}^{m-1}\sum _{i=1}^{n-1}{N}_{l,p}({\overline{u}}_k)N_{i,p}({\overline{u}}_k)P_i=0$$
于是
$$\sum _{i=1}^{n-1}\left(\sum _{k=1}^{m-1}{N}_{l,p}({\overline{u}}_k)N_{i,p}({\overline{u}}_k)\right)P_i=\sum _{k=1}^{m-1}{N}_{l,p}({\overline{u}}_k)R_k$$
这给出了一个以控制顶点$P_1,\cdots ,P_{n-1}$为未知量的线性方程。让$l=1,2,\cdots ,n-1$，则得到含$n-1$个未知量和$n-1$个方程的线性方程组
$$\left(N^{T}N\right)P=R$$
这里，$N$是由标量组成的$\left(m-1\right)\times \left(n-1\right)$的矩阵
$$\begin{array}{r}N=\left[\begin{array}{ccc}{N}_{1,p}({\overline{u}}_1)& \cdots & N_{n-1,p}({\overline{u}}_1)\\ ⋮& & ⋮\\ N_{1,p}({\overline{u}}_{m-1})& \cdots & N_{n-1,p}({\overline{u}}_{m-1})\end{array}\right]\end{array}$$
$R$是由$n-1$个点组成的列向量：
$$\begin{array}{r}R=\left[\begin{array}{c}{N}_{1,p}({\overline{u}}_1)R_1+\cdots +N_{1,p}({\overline{u}}_{m-1})R_{m-1}\\ ⋮\\ N_{n-1,p}({\overline{u}}_1)R_1+\cdots +N_{n-1,p}({\overline{u}}_{m-1})R_{m-1}\end{array}\right]\end{array}$$
并且
$$\begin{array}{r}P=\left[\begin{array}{c}{P}_1\\ ⋮\\ P_{n-1}\end{array}\right]\end{array}$$
为了求解线性方程组计算控制点，需要知道各数据点的参数值$\{{\overline{u}}_k\}$和节点矢量$U=\{u_0,u_1,\cdots ,u_{n+p+1}\}$。

数据点的参数化

弦长参数化法计算$\{{\overline{u}}_k\}$：令$d$为总弦长
$$d=\sum _{k=1}^m|Q_k-Q_{k-1}|$$
则${\overline{u}}_0=0,{\overline{u}}_m=1$
$${\overline{u}}_k={\overline{u}}_{k-1}+\frac{|Q_k-Q_{k-1}|}{d},k=1,2,\cdots ,m-1$$

节点配置

根据端点插值与曲线定义域要求，节点矢量$U=\left[u_0,u_1,\cdots ,u_{n+p+1}\right]$ 常采用定义域两端节点为$p+1$重的重节点端点条件，也即固支条件。于是有$u_0=u_1=\cdots =u_p=0$和$u_{n+1}=u_{n+2}=\cdots =u_{n+p+1}=1$。现在的问题是怎样确定所含内节点数和内节点值，也即怎样进行节点配置以确定节点矢量。

节点的选择对生成的逼近曲线的形状有很大的影响，不合理的节点矢量可能导致不可接受的形状。因此，BSpline曲线逼近成功的关键在于尽可能给出合适的节点配置。皮格尔和蒂勒推荐采用如下的方法：
$$\begin{array}{r}{u}_{p+j}=\{\begin{array}{l}\frac{1}{p}\sum _{i=j}^{j+p-1}{\overline{u}}_i,m=n\\ (1-\alpha ){\overline{u}}_{i-1}+\alpha {\overline{u}}_i,m>n(j=1,2,\cdots ,n-p)\\ 其中：i=int(jc),c=\frac{m+1}{n-p+1},\alpha =jc-i\end{array}\end{array}$$
此即用于$m=n$时的平均技术即AVG技术和用于$m>n$时的节点配置技术$($the knot placement technique，KTP技术$)$。 可见这一套方法包括插值$(m=n)$和逼近$(m>n)$两种情况，这里把插值$(m=n)$作为特殊情况进行特殊处理，内节点值取顺序$p$个参数值的算术平均。而在逼近$(m>n)$情况下，采用另一种不同的平均方法即$(m+1)/(n-p+1)$和据此决定的$\alpha$对顺序两参数值的加权平均，据此决定的内节点值保证了定义域每个节点区间包含至少一个$\overline{u}$。 德布尔表明在这样确定内节点的条件下，矩阵$\left(N^{T}N\right)$对角占优，有一个小于$p+1$的带宽。$\left(N^{T}N\right)$是正定的和情况良好的，这给出了一个稳定方程组，可由高斯消元法求解。