MinHash
1.概述
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跟SimHash一样，MinHash也是LSH的一种，可以用来快速估算两个集合的相似度。MinHash由Andrei Broder提出，最初用于在搜索引擎中检测重复网页。它也可以应用于大规模聚类问题。
2.Jaccard index
在介绍MinHash之前，我们先介绍下Jaccard index。
Jaccard index是用来计算相似性，也就是距离的一种度量标准。假如有集合A、B，那么，
也就是说，集合A,B的Jaccard系数等于A,B中共同拥有的元素数与A,B总共拥有的元素数的比例。很显然，Jaccard系数值区间为[0,1]。
3.MinHash
先定义几个符号术语：
h(x): 把x映射成一个整数的哈希函数。
hmin(S)：集合S中的元素经过h(x)哈希后，具有最小哈希值的元素。
那么对集合A、B，hmin(A) = hmin(B)成立的条件是A ∪ B 中具有最小哈希值的元素也在 ∩ B中。这里
有一个假设，h(x)是一个良好的哈希函数，它具有很好的均匀性，能够把不同元素映射成不同的整数。
所以有，Pr[hmin(A) = hmin(B)] = J(A,B)，即集合A和B的相似度为集合A、B经过hash后最小哈希值相
等的概率。
有了上面的结论，我们便可以根据MinHash来计算两个集合的相似度了。一般有两种方法：
第一种：使用多个hash函数
为了计算集合A、B具有最小哈希值的概率，我们可以选择一定数量的hash函数，比如K个。然后用这K个hash函数分别对集合A、B求哈希值，对
每个集合都得到K个最小值。比如Min(A)k={a1,a2,...,ak}，Min(B)k={b1,b2,...,bk}。
那么，集合A、B的相似度为|Min(A)k ∩ Min(B)k| / |Min(A)k ∪ Min(B)k|，及Min(A)k和Min(B)k中相同元素个数与总的元素个数的比例。
第二种：使用单个hash函数
第一种方法有一个很明显的缺陷，那就是计算复杂度高。使用单个hash函数是怎么解决这个问题的呢？请看：
前面我们定义过 hmin(S)为集合S中具有最小哈希值的一个元素，那么我们也可以定义hmink(S)为集合S中具有最小哈希值的K个元素。这样一来，
我们就只需要对每个集合求一次哈希，然后取最小的K个元素。计算两个集合A、B的相似度，就是集合A中最小的K个元素与集合B中最小的K个元素
的交集个数与并集个数的比例。
看完上面的，你应该大概清楚MinHash是怎么回事了。但是，MinHash的好处到底在哪里呢？计算两篇文档的相似度，就直接统计相同的词数和总的
次数，然后就Jaccard index不就可以了吗？ 对，如果仅仅对两篇文档计算相似度而言，MinHash没有什么优势，反而把问题复杂化了。但是如果有海量的文档需要求相似度，比如在推荐系统
中计算物品的相似度，如果两两计算相似度，计算量过于庞大。下面我们看看MinHash是怎么解决问题的。
比如 元素集合{a,b,c,d,e},其中s1={a,d},s2={c},s3={b,d,e},s4={a,c,d} 那么这四个集合的矩阵表示为：
如果要对某一个集合做MinHash，则可以从上面矩阵的任意一个行排列中选取一个，然后MinHash值是排列中第一个1的行号。
例如，对上述矩阵，我们选取排列 beadc，那么对应的矩阵为
那么， h(S1) = a，同样可以得到h(S2) = c, h(S3) = b, h(S4) = a。
如果只对其中一个行排列做MinHash，不用说，计算相似度当然是不可靠的。因此，我们要选择多个行排列来计算MinHash，最后根据Jaccard index公式 来计算相似度。但是求排列本身的复杂度比较高，特别是针对很大的矩阵来说。因此，我们可以设计一个随机哈希函数去模拟排列，能够把行号0~n随机映射到0~n上。比如H(0)=100,H(1)=3...。当然，冲突是不可避免的，冲突后可以二次散列。并且如果选取的随机哈希函数够均匀，并且当n较大时，冲突发生的概率还是比较低的。关于随机排列算法可以参考这篇文章：随机排列生成算法的一些随想
说到这里，只是讨论了用MinHash对海量文档求相似度的具体过程，但是它到底是怎么减少复杂度的呢？
比如有n个文档，每个文档的维度为m，我们可以选取其中k个排列求MinHash，由于每个对每个排列而言，MinHash把一篇文档映射成一个整数，所以对k个排列计算MinHash就得到k个整数。那么所求的MinHash矩阵为n*k维，而原矩阵为n*m维。n>>m时，计算量就降了下来。
4.参考文献
（1） http://en.wikipedia.org/wiki/MinHash
(2) http://fuliang.iteye.com/blog/1025638