C++不知算法系列之迷宫问题中的“见山不是山”
1. 前言
迷宫问题是一类常见的问题。
初识此类问题，应该是“见山是山”，理解问题的原始要求，便是查找从起点到终点的可行之路。
有了广泛的知识体系之后，应该是"见山不是山"。会发现迷宫就是邻接矩阵，树和图中顶点的关系常用邻接矩阵描述，所以，迷宫问题可以转化为树、图的搜索问题。或帮助理解树和图，反之也可在迷宫问题中用树、图中的理论。
最后便是“见山还是山”，能透过问题的表象，深化问题的本质，识破披着各色外衣的迷宫问题。
本文从不同的角度、全方位讲透迷宫问题中的“见山不是山”，让大家对迷宫问题有实质性的理解。
2. 迷宫问题
问题描述：
如下图迷宫地图中，1表示障碍物，0表示可通行。要求从起始点(0,0)出发，检查是否有行之有效的通路，可以一直走到终点(8,8)。迷宫问题的本质就是邻接矩阵的路径搜索问题。
常用的是广度优先和深度优先搜索算法。
2.1 设计数据类型
首先分析迷宫问题中的数据类型。
- 坐标类型：用来描述迷宫中每个单元格的位置。
/*
*坐标类型
*/
struct Position {
//x坐标
int x;
//y坐标
int y;
Position() {}
//构造函数
Position(int x,int y) {
this->x=x;
this->y=y;
}
//重载 == 运算符
bool operator==(Position pos) {
return this->x==pos.x && this->y==pos.y;
}
//输出
void desc() {
cout<<"(x:"<";
}
};
- 方向类型：描述与每个单元格相邻的上、下、左、右
4个单元格的关系。
/*
* 方向增量
*/
struct Direction {
//x 方向增量
int xOffset;
//y 方向增量
int yOffset;
};
- 迷宫类：描述
迷宫本身以及迷宫相对应的操作函数。
class Maze {
private:
//一般用二维数组存储迷宫信息
int maze[10][10]= {
{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1},
{1,0,0,1,0,1,1,1,1,1},
{1,1,0,1,0,0,1,1,1,1},
{1,1,0,1,0,0,0,0,1,1},
{1,1,0,0,0,0,1,0,1,1},
{1,1,1,1,0,0,1,0,1,1},
{1,1,0,0,0,0,1,0,1,1},
{1,1,1,1,0,0,1,0,1,1},
{1,1,0,0,0,1,1,0,0,1},
{1,1,1,1,1,1,1,1,1,1},
};
//地图中非障碍点，即值为 0 位置的个数
int count=32;
//当前坐标与相邻(右、下、左、上)坐标的增量关系
Direction dirs[4]= { {0,1},{1,0},{0,-1},{-1,0} };
//栈，用于深度搜索
stack mazeStack;
//队列，用于广度搜索
queue mazeQueue;
//总路径数
int totalCount=0;
public:
//构造函数
Maze() {}
/*
*洪水填充算法检查迷宫的连通性
*/
void floodfill(Position start,Position end);
/*
* 是否连通
*/
void isConnection();
/*
* 非递归实现路径的查找
* 只保证查找到路径
* 需要借助栈
*/
void searchPathByStack(Position start,Position end);
/*
* 显示到深度搜索到的路径
*/
void showPath();
/*
*递归深度搜索
*/
bool searchPathByRecursion(Position start,Position end,int deep);
/*
*广度搜索
*/
void searchPathByQueue(Position start,Position end);
/*
* 显示地图
*/
void showMap() {
cout<<"\n\t----------------------地图----------------------\n"<maze[i][j]<<"\t";
cout< 2.2 检查连通性
使用洪水填充算法检查迷宫的连通性。
洪水填充算法类似于古时候的"连坐法"，或说星星之火可以燎原也，从最初给定的位置开始，以蔓延之势，用-1填充与之相邻且值为 0的单元格。 本文中， -1和0都用于表示迷宫中的非障碍物区间。
洪水填充算法和后面的递归搜索算法相似，不同地方之处，洪水填充会蔓延至所有满足条件的位置，搜索则是强调到通向目标的路径。
/*
* 洪水填充算法检查迷宫的连通性
*/
void Maze::floodfill(Position start,Position end) {
Position tmpPos;
//检查起始点周边的点是否存在
for(int i=0; i<4; i++ ) {
//当前点上、下、左、右的相邻点
tmpPos.x=start.x+ dirs[i].xOffset;
tmpPos.y=start.y+dirs[i].yOffset;
if( maze[tmpPos.x][tmpPos.y]==0 ) {
//可通，则填充为 -1
maze[tmpPos.x][tmpPos.y]=-1;
//计数
count--;
//递归调用
Maze::floodfill(tmpPos,end);
}
}
}
连通性结论：
/*
* 如果洪水填充算法所填充的单元格数量和初始时值为 0 的单元格的数量一样，则连通
*/
void Maze::isConnection() {
if(Maze::count==0)
cout<<"地图是连通!"<测试：
//需要的所有头文件
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int main(int argc, char** argv) {
Maze maze;
//起点位置
Position startPos(1,1);
//终点位置
Position endPos(8,8);
cout<<"洪水填充算法前的地图"< 输出结果： 迷宫中值为0的位置全部被-1填充。
2.3 深度搜索
深度搜索可以使用非递归和递归 2 种方案实现。
2.3.1 非递归的思想
非递归深度搜索需要借助栈。
- 初始，把
起始点的坐标值压入栈中。
- 获取栈顶的坐标，检查此坐标的
上、下、左、右 4个相邻的坐标是否可通行。如果可通行，则压入栈中，且标识此坐标已经访问过。如下图使用绿色表示已经访问过。
- 重复上述的的逻辑，如下图当是添加到
(4,4)单元格时栈中的内容。
- 与
(4,4)相邻的坐标分别是(4,5)、(5,4)、(4,3)、(3,4)。其中(4,3)已经访问过，则不需要再压入。栈中的坐标都是一路搜索下来可通行的位置。
-
继续获取栈顶坐标
(3,4)。随后找到与之相邻的(3，5)、(2,4)，压入栈中；再得到栈顶的(2,4)坐标，并找到与之相邻的(2,5)、(1,4)。Tips： 本文查找与栈顶坐标相邻的坐标是按
右、下、左、上的顺序。如果顺序不同，则会导致搜索过程不一样。
- 从栈顶得到
(1,4)，因此坐标位于死胡同。于是，从栈顶把此坐标删除。可得到一个结论，不是所有进入栈中的坐标都有机会成为有效路径中的一份子。本文称行之此处不通的坐标为死胡同坐标，也做相应的标记。也就是说，当坐标为死胡同坐标时，则从栈顶删除。
- 栈中的
(2，5)、(2,4)为死胡同坐标，删除。
- 从
(3,5)坐标开始，可以一路走到终点。把栈中的坐标全部输出便得到起点到终点的有效路径。
这里有一个问题要思考，栈中的值真的全是有效路径上的坐标？
其实不然，也许有些坐标进入栈中，只为备用。如到(4,4)位置时，有 3 个可行方向(4,5)、(5,4)、(3,4)。因(3，4)这个方向可行，最终(4,5)、(5,4)备用点没用上。所以，这些坐标也需要标记一下，本文称为备用坐标。
对坐标进行不同颜色标记后，上图中的绿色坐标为最终有效路径。
2.3.2 编码实现
/*
* 非递归实现路径的查找
* 只保证查找到路径
* 需要借助栈
*/
void Maze::searchPathByStack(Position start,Position end) {
//把起始点压入栈
Maze::mazeStack.push(start);
//置 0,表示已经访问过
Maze::maze[start.x][start.y]=0;
Position top;
Position tmpPos;
while(1) {
//得到栈顶的元素
top=Maze::mazeStack.top();
// -2 表示此坐标是路径中的一部分
Maze::maze[top.x ][top.y ]=-2;
if(top==end) {
return;
}
bool isConnection=false;
//检查栈顶元素的周边点
for(int i=0; i<4; i++) {
tmpPos= { top.x+dirs[i].xOffset,top.y+dirs[i].yOffset };
//检查是否可通，-1 表示可通
if( Maze::maze[tmpPos.x ][tmpPos.y ]==-1 ) {
isConnection=true;
//压入栈
Maze::mazeStack.push(tmpPos);
//经访问过
Maze::maze[tmpPos.x][tmpPos.y]=0;
}
}
if(!isConnection) {
//此点周边不能通用，从栈顶删除
Maze::mazeStack.pop();
//-3 表示死胡同坐标
this->maze[top.x ][top.y ]=-3;
}
}
}
/*
*输出路径中的坐标
*
*/
void Maze::showPath() {
cout<<"非递归查找到的路径："< paths;
Position pos;
while(!Maze::mazeStack.empty()) {
pos=Maze::mazeStack.top();
Maze::mazeStack.pop();
if( this->maze[pos.x][pos.y]==-2 )
paths.push(pos);
}
//正序输出
while(!paths.empty()) {
pos=paths.top();
paths.pop();
pos.desc();
}
cout< 测试：
int main(int argc, char** argv) {
Maze maze;
//起点位置
Position startPos(1,1);
//终点位置
Position endPos(8,8);
//省略……
//非递归搜索路径
maze.searchPathByStack(startPos,endPos) ;
maze.showPath();
maze.showMap();
return 0;
}
输出结果： 下图中的-2所示的坐标为有效路径描述。-3曾经进入过栈，但是死胡同坐标。0 表示没有用上的备用坐标。
2.4 递归实现
可以使用递归回溯，找出所有的路径。
/*
*递归查找路径
*/
bool Maze::searchPathByRecursion(Position start,Position end,int deep) {
Maze::maze[start.x][start.y]=deep;
//是否是死胡同坐标
bool isConnection=false;
Position tmpPos;
//查找相邻坐标
for(int i=0; i<4; i++ ) {
//相邻坐标
tmpPos= { start.x+dirs[i].xOffset,start.y+dirs[i].yOffset };
if( Maze::maze[tmpPos.x][tmpPos.y]==-1 ) {
//可访问
isConnection=true;
Maze::maze[tmpPos.x][tmpPos.y]=deep;
if(tmpPos==end ) {
Maze::totalCount++;
cout<<"第"<测试代码：
int main(int argc, char** argv) {
//省略……
//递归搜索路径
maze.searchPathByRecursion(startPos,endPos,2) ;
return 0;
}
注释如下代码：
//Maze::maze[tmpPos.x][tmpPos.y]=-1;
会显示一条路径。如下图所示，-3表示递归过，但是死胡同的坐标。标记为大于等于 2 的位置为可正常通行。
如果打开如下代码。
//回溯时恢复原来状态
Maze::maze[tmpPos.x][tmpPos.y]=-1;
显示所有路径，回溯不用判断死胡同坐标，回溯时会自动恢复原来的状态。
2.4 广度搜索
在家拖地时，如果从当前位置向前拖，然后再折回，这和深度优先搜索方式一样。另一种是从左向右方式，逐渐向远处外延，这和广度搜索一样。
广度优先类似于一石激起千层浪，一层层向外推动。
/*
*广度搜索
*/
void Maze::searchPathByQueue(Position start,Position end) {
//所有路径
vector> paths;
//把起始点放入队列
Maze::mazeQueue.push(start);
vector path;
path.push_back(start);
paths.push_back(path);
Position pos;
bool isConnection;
Position tmpPos;
while(true ) {
//从队列中得到队头数据
pos=Maze::mazeQueue.front();
Maze::mazeQueue.pop();
for(int i=0; i 输出结果： 迷宫中的广度优先搜索相当于在无向图中查找路径，可以找到任何 2 个可通行位置的最短路径。这里只显示起点到终点的最短路径，如下-2所标记的位置连接起来的路径。
3. 总结
迷宫本质是矩阵，在解决迷宫问题时，可以考虑运用矩阵相关的操作理论。另，树、图的关系也常用矩阵描述，迷宫问题也可以当成树、图论算法中的子问题。