线性代数（Linear Algebra）

• 第一章 线性方程组
  • 1.1 线性方程组
    • 若 b1b2…bnb_1 b_2 \dots b_nb1​b2​…bn​​​​ 全为0，则方程组称为齐次方程组；否则为非齐次方程组
    • 系数矩阵与增广矩阵
    • 将一个方程组只做初等行变换可以得到等价的方程组
      • 初等行变换前后的方程组的解是相同的
  • 1.2 行化简和阶梯形矩阵
    • 阶梯型矩阵与矩阵的行最简
      • 行最简需要在阶梯型矩阵的基础上，将非零首元化成1，并将非零首元所在列的其他元化成0
    • 矩阵具有唯一的行最简形
    • 线性方程组解的情况 主元列数
    • 有解
      • 系数矩阵与增广矩阵的主元列相同
      • 有唯一解
        • 主元列数=未知数个数n
      • 有无穷解
        • 主元列数<未知数个数n
    • 无解
      • 系数矩阵的主元列数小于增广矩阵
      • 增广矩阵的最右列为主元列
    • 齐次线性方程组
      • 必定有解
      • 只有零解
        • 主元列数=未知数个数
      • 还有非零解
        • 主元列数<未知数个数 或者说 m

第二章 矩阵与向量

• 2.1 矩阵和向量

• 2.2 矩阵的代数运算
  • 同型矩阵
    • A与B具有相同的行数列数
  • 同型矩阵的对应元素都相等，则A=BA=BA=B​​​
  • 同型矩阵对应位置元素相加得到矩阵C=A+BC=A+BC=A+B​​​​​
  • 数λ\lambda λ​与矩阵AAA​的乘积，结果为所有元素都乘以λ
  • 矩阵的加法矩阵的数乘运算统称为矩阵的线性运算，具有八大运算性质
  • 如果B=∑λiAiB=\sum \lambda_i A_iB=∑λi​Ai​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​则称B为矩阵A1,A2...AnA_1, A_2...A_nA1​,A2​...An​​​​​​​​​​​​​​​的线性组合或B可由A1,A2...AnA_1, A_2...A_nA1​,A2​...An​​​​​​​​​​​​​​​线性表出
  • 则线性方程组AX=bAX=bAX=b​​​​可以看成是矩阵A列向量的线性组合
  • 矩阵的乘法
    • ABABAB​​不一定等于BABABA​​，若相等则称矩阵AB可交换
    • 不满足交换律，满足结合律

• 2.3 逆矩阵与矩阵的初等变换
  • 初等变换
    • 对矩阵A进行某一行的初等列或行变换，等价于对A左（右）乘一个相应 的初等矩阵
  • 若矩阵AB=BA=E ,则A,B可逆，并互为逆矩阵
  • 可逆阵的逆矩阵唯一
  • inv(AB)=inv(B)*inv(A),推广到若干可逆阵的乘积，则有 可逆阵的乘积仍然是可逆矩阵
  • 矩阵可逆 的等价条件
    • A矩阵可逆
    • Ax=0只有零解
    • A与n解单位矩阵E行等价
    • A矩阵满秩
    • A可以表示为若干个初等矩阵的乘积
  • 逆矩阵的求法
    • 矩阵变换法
      • （A|E）将对增广矩阵（A|E）只做初等行变换，将A化成E，E就化成了A的逆
    • 伴随矩阵法
  • 矩阵方程 AX=B
    • 将增广矩阵（A|B）只做初等行变换，将A换成E，B就化成了A的逆与B的乘积，也就是X

• 2.4 转置矩阵与一些重要方阵
  • 矩阵的转置
    • 行按列放，列按行放
    • (AB)T=BTAT(AB)^T=B^TA^T(AB)T=BTAT​​​​​​​​​​​​​
    • 求逆运算法则与转置法则的运算次序可以任意交换
  • 重要方阵
    • 对称矩阵
      • AT=AA^T=AAT=A​​​​​
    • 反对称矩阵
      • AT=−AA^T=-AAT=−A​​​​​​
    • 对角型矩阵
      • 主对角线以外全部为0
    • 正交矩阵
      • A转置A=AA转置=E
      • 或者 A转置=A的逆
      • 若A，B均为正交矩阵，则乘积AB也是正交矩阵，但A+B不一定再是正交矩阵

• 2.5 分块矩阵

第三章·行列式

• 3.1 方阵的行列式
  • 任意一个n阶方阵的行列式记为det(A)，或|A|，若det(A)非零，则矩阵A可逆
  • 余子式和代数余子式
  • n阶行列式的求法
    • 按行，按列展开求值
    • 化为三角形行列式
    • 降阶
    • 升阶法，即加边法
      • 适用与箭头行列式
    • 递推法
      • 适用于展开之后的低阶与当前的行列式有相同的形式
  • 拉普拉斯展开
    • 所有k阶子式与其对应的代数余子式的乘积之和
    • 按行、按列展开即拉普拉斯展开的特例

• 3.2 行列式的性质
  • 行列式与一个非零常数k相乘，其结果是某行或某列乘以k
    注意与矩阵区分开，矩阵与常数相乘的结果是矩阵的所有元素都乘以k
  • 行列式的某两行或某两列对换，值变号
  • 行列式的某行（列）的k倍加到另外一个行（列）上，行列式的值不变
  • |AAA​|=|ATA^TAT​​​|
  • |AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|
  • n阶方阵A，|kA|=k^n*|A|

• 3.3 行列式的应用
  • 行列式与逆矩阵的关系
    • 矩阵可逆的充要条件是矩阵的行列式非零 证明方法很多
    • 伴随矩阵
      • 每个元素a(i,j)对应的代数余子式Aij，将这些代数余子式取代原矩阵A中的元素a(i,j)，对结果矩阵再取转置，结果即为矩阵A的伴随矩阵A*
    • inv(A)=A*/|A|
  • 行列式与线性方程组求解——克莱姆法则

• 特殊行列式求值问题
  • 主对角线全为a，其余位置全为b
    • 所有行加到第一行上去
  • 主对角线全为a，主对角线之上为b，主对角线之下为c

    

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  • 范德蒙德行列式
  • 矩阵与矩阵和的行列式 行列式加法运算

    

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第四章·向量空间

• 4.1 向量的定义与运算

• 4.2 线性相关与线性无关
  • 线性组合
    • 任意实数k1k2…knk_1 k_2 \dots k_nk1​k2​…kn​​​​​​​​​​​​​​​​​​与 α1α2…αn\alpha_1 \alpha_2 \dots \alpha_nα1​α2​…αn​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​表示向量β
    • 等价于系数矩阵与增广矩阵的秩相同
    • 线性方程组有解，等价于其常数项列向量是系数列向量的线性组合
  • 线性相关性
    • 线性相关
      • 存在不全为0的实数k1k2…knk_1 k_2 \dots k_nk1​k2​…kn​​​​​​​​​​​​​​​​​​，使得k1α1+k2α2+⋯+knαnk_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\dots+k_n\alpha_nk1​α1​+k2​α2​+⋯+kn​αn​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​
      • 等价于齐次线性方程组有非零解
    • 线性无关
      • 方程k1α1+k2α2+⋯+knαnk_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\dots+k_n\alpha_nk1​α1​+k2​α2​+⋯+kn​αn​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​只有零解
      • 等价与齐次线性方程组只有零解
      • n个n维列向量线性相关等价于n行列式det(α1 α2 α3...αn)=0
    • 任意n+1个n维向量必定线性相关
    • 向量组等价
      • 向量组（α1α2…αn\alpha_1 \alpha_2 \dots \alpha_nα1​α2​…αn​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​）与（β1β2…βn\beta_1 \beta_2 \dots \beta_nβ1​β2​…βn​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​）可以相互线性表示出，则两向量组等价
  • 向量组线性无关，增加一个向量β后线性相关，则向量β可由之前的向量组的线性表出
  • 向量组线性无关，则部分组无关；若部分组相关，则向量组相关
  • 向量组的个数比向量的分量数目多，则向量组必定线性相关

• 4.3 向量的极大线性无关组和秩
  • 向量的秩
    • 若向量组α1α2…αn\alpha_1 \alpha_2 \dots \alpha_nα1​α2​…αn​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​和向量组β1β2…βn\beta_1 \beta_2 \dots \beta_nβ1​β2​…βn​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​则称两向量组等价
      • α1，α2,α3...αn能由β1，β2，β3...βn表示出的充要条件时r（β1，β2，β3...βn，α1，α2,α3...αn）=r(β1，β2，β3...βn)
    • 线性无关组
    • 向量的秩，即向量的最大线性无关组的个数
    • 线性无关组
      • r个向量组线性无关，任意r+1个向量组线性相关
      • 等价于向量组S的部分组α1,α2,...,αr线性无关，S中的任意一个向量都可以由α1,α2,...,αr线性表示出，则α1,α2,...,αr时S的一个极大无关组
    • 向量组等价则两个向量组的秩相同，但反之不一定成立
    • 如果线性无关向量组①可以由向量组2表示，则向量组2的个数不少于向量组1的个数
    • 等价线性无关向量组的个数相同
    • 向量组的任意两个极大无关组等价
    • 如果向量组1可以由向量组2线性表出，则向量组2的秩不小于向量组1

• 4.4 子空间
  • 子空间
    • 一个集合H是否为R^n的一个子空间的充要条件
      • 0∈H
      • 若α∈H，kα∈H，k∈R
      • 若α，β∈H，且α+β∈H
    • 如果α1，α2...αn∈H，则由α1，α2...αn所有可能的线性组合构成的集合span{α1，α2...αn}={k1α1，k2α2...knαn}也是Rn的子空间，并称该子空间为由α1，α2...αn生成（张成）的子空间
    • 列空间ColA
      • 如果A是m x n的矩阵，A的列空间ColA是A的列向量的所有可能的线性组合构成的集合
    • 零空间NulA
      • 该空间是齐次线性方程组Ax=0的所有解的向量构成的集合
      • A的零空间是指在矩阵A的映射作用下，像为零的原像的全体所狗策划给你的集合，原像空间Nul A

• 4.5 基和维数
  • 子空间H的线性无关生成集为子空间H的基
  • 初等行变换不改列向量之间的线性关系
  • ColA和NulA的基
    • 对于ColA，化A矩阵为阶梯型矩阵，主元列对应的列向量即为ColA的基
    • 对于NulA，化A矩阵为阶梯型矩阵，将基本变量用随机变量表示，并把解集X写成向量的形式
  • 维数
    • Rn的非零子空间H的维数dimH定义为H的任一组基中所含向量的个数。并规定零空间{0}的维数是0
  • 易知NulA的维数是Ax=0中自由变量的个数，ColA的维数是Ax=0中主元列数的个数
  • 维数与向量的秩的关系
    • dim span{α1，α2...αn}=r({α1，α2...αn})
  • 坐标系统
    • 对于一个子空间的任意一组基，可用用该组基去表示该向量空间中的任意一个向量，即对于任意x向量∈H，总存在c1,c2,c3,...,cn，使得x=c1β1+c2β2+c3β3+...+cnβn。称系数c1,c2,c3,...,cn为x相对于基B的坐标，即为（c1,c2,c3,...,cn）T
    • 该概念类似于平面坐标系中的基底
  • 过渡矩阵
    • 对于Rn的子空间H，子空间的两组基{η1，η2，...，ηn}（Ⅰ），{ε1，ε2，...，εn}（Ⅱ），那么两组基可以互相表示。例如用基（Ⅱ）表示基（Ⅰ）：η1=a11ε1+...+an1εn，...，ηn=an1ε1+...+annεn。其中系数矩阵A称为由基（Ⅱ）到基（Ⅰ）的过渡矩阵。且A的第j列是ηj在基(Ⅰ)下的坐标
    • 注意两组基下的坐标变换
  • 基变换与坐标变换

• 4.6 矩阵的秩
  • 矩阵的行空间RowA
    • 行向量的所有可能的线性组合的集合
  • A初等行变换化为B，则A与B有相同的行空间，如果B是行阶梯形矩阵，则B的非零行构成A的行空间的一组基。
  • 矩阵的秩的定义
    • 非零子式的最高阶数
  • 矩阵A的行秩等于矩阵A行向量组的秩，列秩同理
  • 矩阵的行秩与列秩相同
  • r(A)=r(A')=r(AA')
  • r(A±B)<=r(A)+r(B)
  • r(AB)<=min{r(A),r(B)}
  • 一个矩阵与可逆矩阵相乘后，秩不变
  • 矩阵与伴随矩阵秩的关系

    

  • 常见矩阵秩的等式与不等式

    

• 4.7 线性方程组的解的结构
  • 齐次线性方程组
    • 化系数矩阵为行最简
    • 求解X向量
    • 等价于求A的零空间的一组基
    • 基础解系X1，X2...Xn
    • 通解为k1X1+k2X2+...knXn k1,k2...kn为实数
    • 对于一个系数矩阵AAA​ mXn, rank（A）=r, 则有n-r个基础解系
    • 列满秩，行秩亏只有零解
    • 行满秩，列秩亏有非零解
  • 非齐次线性方程组
    • 特解再加上NulA的一组基

第五章·特征值和特征向量

• 5.1 矩阵的特征值和特征向量
  • 定义
    • 矩阵A为方阵，存在复数λ于非零列向量X，使等式AX＝λX，则λ是矩阵A的一个特征值，X是一个对应于特征值λ的特征向量。
    • 等式变形，齐次线性方程组(A-λE)X=0有非零解，即系数行列式为0
  • 特征向量与特征值的关系
    • 特征向量X是对应于λ特征值的特征向量
    • 特征值是有限的，但特征向量是无限的，即若X为一个特征向量，则kX也为特征向量
    • 一个特征值对应无数个线性无关的特征向量，但一个特征向量对应一个特征值
  • 特征值的性质
    • A与A'具有相同的特征值，但特征向量不一定相同
    • λ1，λ2，λ3，...，λn是特征值，则Σλ=Σaii,并记作矩阵的迹，tra(A) 且 Πλ=det(A)
    • 互不相同的特征值对应的特征向量线性无关
    • k重特征根的特征向量个数不超过k个
    • kλ是kA的特征值
    • λ^m是A^m的特征值
    • 矩阵多项式的特征值拆分成若干个矩阵特征值之和
    • 一个特征值对应的特征向量数不会超过该特征根的重数
  • 盖尔圆盘定理
    • 一个矩阵严格按行对角占优（对角元素的绝对值大于所在行其余所有元素的绝对值之和），则该矩阵可逆

• 5.2 矩阵的相似对角化
  • 定义
    • 对于n阶矩阵A，B，若存在可逆矩阵P使inv(P)AP=B，则A与B相似
  • 矩阵相似的性质
    • 有相同的特征值
    • tr(A)=tr(B)，即特征值的和相同，对角线元素和相同
    • |A|=|B|，即特征值的累积相同
    • A可逆则B可逆，且逆矩阵相似
    • A的幂与B的幂相似
  • 矩阵与一个对角型矩阵相似，则称之为相似对角化
    • 矩阵A与对角阵相似，充要条件是A有n个线性无关的特征向量。充分条件不必要条件是有n个互异的特征值
    • 步骤
      • 求出所有特征根，有重根按重数计
      • 求出所有特征根对应的特征向量X1 X2 X3...Xn
      • 判断特征向量个数是否等于n。若等于则可对角化，否则不可以
      • 则可逆矩阵P以特征向量为列向量的矩阵(X1 X2 X3...Xn)，对应的对角阵的元素为特征根
      • 注意：对角阵元素的摆放顺序应该与矩阵P中特征向量的摆放顺序一致。矩阵P和对角阵都不唯一

• 5.3 实对称矩阵的正交相似对角化
  • 酉矩阵
    • 复数矩阵
    • 与正交矩阵类似
    • AB＝BA＝E B为A取转置后元素取共轭
  • 实对称矩阵一定可以对角化
  • 实对称矩阵的特征向量一定线性无关且正交
  • 向量的内积，两同维度的向量，所有对应分量的乘积和即向量的内积，记为(α，β)
  • 向量的长度，模，范数||α||=√(α，α)，其物理意义为当前向量空间下与原点的距离
  • 如果两个向量的内积为0，则称两个向量正交
  • 如果一个向量组不含零向量，则两两正交，则称该向量组为一个正交组。由单位向量构成的正交组称为规范正交组
  • 施密特定理，用于将一个向量组正交化
  • 实对称矩阵的特征值对应的特征向量组成一个正交组
  • 正交相似
    • 定义 如果存在一个正交矩阵P，使$$=B，则称A，B正交相似
    • 正交相似一定相似，但相似不一定正交相似
  • 常见题型
    • 将一个向量组正交规范化
    • 给定实对称矩阵A，求正交矩阵Q和对角阵B满足inv(Q)AQ=B
      • 求特征值λ 如果特征值是单根,则特征向量已正交
      • 求特征向量
      • 将所有特征向量正交化,规范化
      • 特征列向量合成矩阵Q,即为所求的正交矩阵

第六章·二次型及其矩阵表示

• 6.1 二次型及其矩阵表示
  • 二次型f(x1,x2,x3...,xn)的矩阵表示
    • 平方项的系数直接作为主对角线的元素
    • 交叉项的系数的一半放在两个对称的相应位置上
    • 所得的矩阵即为二次型对应的矩阵 易知是个对称矩阵
    • 矩阵的前后分别乘以x1到xn的行向量和列向量
  • 矩阵的合同
    • 如果存在可逆矩阵P，使得矩阵B=P'AP，则矩阵A与B合同，或A合同与B
    • 如果矩阵AB合同，则矩阵AB的秩相同 。矩阵乘以一个可逆阵，秩不变
    • 矩阵关系汇总
      • 矩阵等价 存在可逆阵P、Q，PAQ=B
      • 矩阵相似 存在可逆阵P，使inv(P)AP=B
      • 矩阵的正交相似 存在正交阵P，使PTAPP^TAPPTAP​​​​​=B
      • 矩阵合同 存在可逆阵P，使P'AP=B
      • 正交相似既相似也合同
      • 四种关系

        

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• 6.2二次型转标准型
  • 标准型即没有交叉项，只有平方项，其对应的二次型矩阵只是一个对角阵
  • 线性替换
    从一个既有交叉项又有平方项的二次型转化为简单的标准二次型的过程即成为线性替换
    • 二次型的矩阵表示f(x1,x2,...,xn)=X'AX，令X=CY，则f=Y'C'ACY,其中B=C’AC矩阵即为标准型对应的矩阵
    • X=CY即为线性替换
    • 如果|C|非零，则称为可逆替换，否则称为退化替换
  • 三种方法
    • 配方法
      • 先配x1，再x2，最后x3
      • 配完x1后，后面没有x1的项
      • 最后写出线性替换，y1=a1x1+a2x2+a3x3, y2=a1x1+a2x2+a3x3, y2=a1x1+a2x2+a3x3,即Y=CX，最后转化为X=BY，B即为线性替换矩阵f
      • 例题
      • 特殊情况，只有交叉项的二次型
        • 做线性可逆变换x1=y1-y2; x2=y1+y2; x3=y3 x4=y4
    • 初等变换法 合同变化法
      • 将矩阵A和单位阵E竖向排列。当把A化为对角阵时，单位阵E即变为矩阵C
      • 变换规则
        • 做初等列变换
        • 每做一次初等列变换,做一次对应的行变换,即每一次变换的结果上边的矩阵还是对称阵
    • 正交变换法
      • 求特征值
      • 求特征向量,然后正交化,单位化。但注意实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交。
      • 正交变换矩阵Q即为单位化的列向量组成的矩阵

• 6.3正定二次型
  • 二次型的标准型是不唯一的，但标准型所含的非零项是相同的，且正负项的个数不变
  • 对于任意一个二次型f(X)，都可以化简成标准二次型f(X)=z1^2+z2^2+...+zs^2-...-zs+t^2，其中s+t=R(A)，形如该二次型的称为规范型形，s称为正惯性指标，t称为负惯性指标
  • 二次型矩阵A的秩数等于正定二次型的平方项个数
  • 惯性定理
    • 任意一个实二次型总可以替换成规范形矩阵，且规范形唯一，即正负惯性指标是两个不变量
  • 对于实二次型f(X)=X'AX，如果对任意的X不为0向量
    • 如果f(X)恒大于0，叫做正定二次型，对应的矩阵A称为正定矩阵
    • 如果f(X)恒小于0，叫做负定二次型，对应的矩阵A称为负定矩阵
  • 可逆线性变换不改变二次型的正定型
  • 正定二次型的判别
    • 方法
      • 定义法 充要
        • 证f(X)=X'AX>0
      • 标准型法 充要
        • f(X)=a1x1^2+...+anxn^2,a1到an都是正数
      • 特征值法 充要
        • 所有特征值都是正数
      • 顺序主子式法 重要
        • A的各阶顺序主子式都大于0
        • 注意 仅限于A为实对称阵

          

      • 推论
        • 如果矩阵A是正定矩阵，A与单位阵合同，即存在可逆阵C，使CTACC^TACCTAC​​​​​=E
    • 如果秩亏则半正定

易错题

• 范德蒙德形式

  

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