有限体积法求解二维方腔流（一）——动量方程和连续性方程的离散

1. 有限体积法求解二维方腔流–理论手册

1.1. 不可压缩流体控制方程

连续性方程
$$\nabla \cdot U=0\text{\hspace{1em}(1)}$$
动量方程
$$\frac{\partial U}{\partial t}+\nabla \cdot (UU)=-\nabla p+\nabla \cdot (\nu \nabla U)\text{\hspace{1em}(2)}$$
其中$p$为真实压力与流体密度之比，量纲为$m^2/s^2$。

上式中的扩散项为空间的二阶导数项，为了保证精度，对上式离散的空间精度也应至少满足二阶精度（Jasak, 1996, phd）

有限体积法对上式离散的第一步是积分：
$${\int }_t^{t+\Delta t}\left[\frac{\partial }{\partial t}{\int }_{V_P}UdV+{\int }_{V_P}\nabla \cdot (UU)dV\right]dt={\int }_t^{t+\Delta t}\left[-{\int }_{V_P}\nabla pdV+{\int }_{V_P}\nabla \cdot (\nu \nabla U)dV\right]dt$$

1.2. 逐项离散

使用网格质心值代替网格平均值，有二阶精度，详情参考
$${\int }_{V_p}UdV=U_P{V}_P+\epsilon (\Delta x^2)$$

1.2.1. 非稳态项

$${\int }_t^{t+\Delta t}\frac{\partial }{\partial t}{\int }_{V_P}UdVdt\approx \frac{U_P^{t+\Delta t}-U_P^t}{\Delta t}\Delta t{V}_P=(U_P^{n+1}-U_P^n)V_P$$

下文中以上标$(n+1)$替代上标$(t+\Delta t)$，以$n$替代$t$

1.2.2. 对流项

结合高斯散度定理，
$${\int }_{V_P}\nabla \cdot (UU)dV={\int }_{\partial V_P}(UU)dS\approx \sum (UU{)}_{f}S$$

注意上式中$(UU{)}_f$为张量在面心上的平均值，二阶精度；$S$为矢量，将其乘积做线性化处理
$$\sum (UU{)}_{f}S\approx \sum F_f^n{U}_f^{n+1}$$

其中$F_f=S\cdot U_f$，为标量。本文中的面法向方向由内指向外，这与OpenFOAM中根据owner和neighbor来定义面法向的方式不同。对于二维情况，$U=(u,v)$：
$$\sum F_f^n{U}_f^{n+1}=F_w{U}_w^{n+1}+F_e{U}_e^{n+1}+F_s{U}_s^{n+1}+F_n{U}_n^{n+1}$$

$$F_w=U_w\cdot S_w=(u_w,v_w)\cdot (-h,0)=-u_{w}h=-\frac{u_P+u_W}{2}h$$

$$F_e=U_e\cdot S_e=(u_e,v_e)\cdot (h,0)=u_{e}h=\frac{u_P+u_E}{2}h$$

$$F_s=U_s\cdot S_s=(u_s,v_s)\cdot (0,-h)=-v_{s}h=-\frac{v_P+v_S}{2}h$$

$$F_n=U_n\cdot S_n=(u_n,v_n)\cdot (0,h)=v_{n}h=\frac{v_P+v_N}{2}h$$

上式中$U_f^{n+1}$的获取是有限体积法中的关键。介绍几种常用格式：

• 一阶迎风
  $${\varphi }_e=\{\begin{array}{cc}{\varphi }_P& F_e>0\\ {\varphi }_E& F_e<0\end{array}$$

• 二阶迎风
  $${\varphi }_e=\{\begin{array}{cc}0.5(3{\varphi }_P-{\varphi }_W)& F_e>0\\ 0.5(3{\varphi }_E-{\varphi }_{EE})& F_e<0\end{array}$$

• 中心差分
  $${\varphi }_e=\frac{{\varphi }_P+{\varphi }_E}{2}$$

上式中$\varphi$为标量，下标$W,E$分别为$P$网格的左和右邻居网格，$e$表示$P$网格的右面。如果不是六面体网格（三维）或矩形网格（二维），则上述格式需要修正。

OpenFOAM自带cavity算例中，system/fvSchemes-divSchemes-div(phi,U)使用的离散格式是Gauss linear，其中phi是已知值，所以线性插值仅是应用于变量U，换句话说，cavity默认的对流项离散方式是中心差分

按照中心差分，$U_f=(U_N+U_P)/2$
$$U_w^{n+1}=\frac{U_P^{n+1}+U_W^{n+1}}{2}$$

$$U_e^{n+1}=\frac{U_P^{n+1}+U_E^{n+1}}{2}$$

$$U_s^{n+1}=\frac{U_P^{n+1}+U_S^{n+1}}{2}$$

$$U_n^{n+1}=\frac{U_P^{n+1}+U_N^{n+1}}{2}$$

$$\begin{gathered} \sum F_f^n{U}_f^{n+1}=(-u_w^{n}h)U_w^{n+1}+(u_e^{n}h)U_e^{n+1}+(-v_s^{n}h)U_s^{n+1}+(v_n^{n}h)U_n^{n+1} \\ =\frac{h}{4}\left[-(u_P^n+u_W^n)(U_P^{n+1}+U_W^{n+1})+(u_P^n+u_E^n)(U_P^{n+1}+U_E^{n+1})-(v_P^n+v_S^n)(U_P^{n+1}+U_S^{n+1})+(v_P^n+v_N^n)(U_P^{n+1}+U_N^{n+1})\right] \\ =\frac{h}{4}\left[(u_E^n-u_W^n+v_N^n-v_S^n)U_P^{n+1}-(u_P^n+u_W^n)U_W^{n+1}+(u_P^n+u_E^n)U_E^{n+1}-(v_P^n+v_S^n)U_S^{n+1}+(v_P^n+v_N^n)U_N^{n+1}\right] \end{gathered}$$

按照一阶迎风，
$$U_w^{n+1}=\{\begin{array}{cc}{U}_W^{n+1}& F_w>0\\ U_P^{n+1}& F_w\le 0\end{array}$$

$$U_e^{n+1}=\{\begin{array}{cc}{U}_P^{n+1}& F_e>0\\ U_E^{n+1}& F_e\le 0\end{array}$$

$$U_s^{n+1}=\{\begin{array}{cc}{U}_S^{n+1}& F_s>0\\ U_P^{n+1}& F_s\le 0\end{array}$$

$$U_n^{n+1}=\{\begin{array}{cc}{U}_P^{n+1}& F_n>0\\ U_N^{n+1}& F_n\le 0\end{array}$$

1.2.3. 扩散项

$${\int }_{V_P}\nabla \cdot (\nu \nabla U)dV={\int }_{\partial V_P}(\nu \nabla U)dS\approx \sum \nu (\nabla U{)}_{f}S$$
上式中面上梯度项$(\nabla U)$的方向从$P$指向$N$，即该矢量的方向和网格$P$与网格$N$体心连线共线，如果体心连线和面法向矢量不垂直，则需要引入非正交修正，关于这部分的讨论可参考Jasak(1996, phd)。另外，这篇文章提到了两种面上梯度的计算方法，其区别在无痛苦NS方程笔记laplacian(ϕ) = div(grad(ϕ))?这一小节提到。

注意到，面上速度梯度（二阶矢量）与面矢量的乘积仍为矢量，下式为icoFoam解析中对该项的分析
$$(\nabla U^{n+1}{)}_{f}S=\left((\nabla U^{n+1}{)}_f\cdot \frac{S}{S_f}\right)S_f=\frac{U_N^{n+1}-U_P^{n+1}}{d}{S}_f$$

$S_f$为面积，$d$为网格体心间距，均为标量。将上式写成向量乘积的形式为
$$(\nabla U{)}_f\cdot \frac{S}{S_f}=\left(i,j\right)\left(\begin{array}{cc}\partial u/\partial x& \partial v/\partial x\\ \partial u/\partial y& \partial v/\partial y\end{array}\right)=\left(i\partial u/\partial x+j\partial u/\partial y,i\partial v/\partial x+j\partial v/\partial y\right)$$

上式相当于OpenFOAM中的snGrad(U)，其中$(i,j)$为面的单位矢量，相当于$S/S_f$。对于$e$面，单位矢量为$(1,0)$，代入上式为
$$(\nabla U{)}_e\cdot \frac{S_e}{S_f}=\left(\partial u/\partial x,\partial v/\partial x\right)=\frac{1}{d}\left(u_E-u_P,v_E-v_P\right)=\frac{1}{d}\left(U_E-U_P\right)$$

对于$w$面，单位矢量为$(-1,0)$，则
$$(\nabla U{)}_w\cdot \frac{S_w}{S_f}=\left(-\partial u/\partial x,-\partial v/\partial x\right)=\frac{1}{d}\left(u_W-u_P,v_W-v_P\right)=\frac{1}{d}\left(U_W-U_P\right)$$

此过程证明了面法向梯度（上式最左端）与体心速度之间的关系。推导过程中
$$\frac{\partial u}{\partial x}{|}_e=\frac{u_E-u_P}{x_E-x_P}$$

为什么二阶矢量与面矢量做乘法的时候，面矢量在左？这是因为本文定义的矢量是行矢量，或者说是1行2列的矩阵。二阶矢量与面矢量乘积为矢量，按照矩阵乘法，2*2的矩阵和1*2矩阵相乘，只能是1*2的矩阵在左，所得结果为1*2的矩阵。

按上述推导过程，扩散项的离散结果为
$$\begin{gathered} \sum \nu (\nabla U^{n+1}{)}_{f}S=\nu \left[(\nabla U^{n+1}{)}_w{S}_w+(\nabla U^{n+1}{)}_e{S}_e+(\nabla U^{n+1}{)}_s{S}_s+(\nabla U^{n+1}{)}_n{S}_n\right] \\ =\frac{\nu S_f}{d}\left[(U_W-U_P)+(U_E-U_P)+(U_S-U_P)+(U_N-U_P)\right]=\frac{\nu S_f}{d}\left[U_W+U_E+U_S+U_N-4U_P\right] \end{gathered}$$

1.2.4. 压力项

$${\int }_{V_P}\nabla pdV={\int }_{\partial V_P}pdS\approx \sum p_{f}S$$

按照中心差分，$p_f=(p_P+p_N)/2$
$$\sum p_{f}S=\frac{p_W+p_P}{2}\left(-h,0\right)+\frac{p_E+p_P}{2}\left(h,0\right)+\frac{p_S+p_P}{2}\left(0,-h\right)+\frac{p_N+p_P}{2}\left(0,h\right)=\frac{h}{2}\left(p_E-p_W,p_N-p_S\right)$$

1.3. 动量方程离散结果

对以上各项的离散结果汇总如下，
$$\frac{U_P^{n+1}-U_P^n}{\Delta t}{V}_P+\sum F_f^n{U}_f^{n+1}=\sum \nu (\nabla U^{n+1}{)}_{f}S-\sum p_f^{n}S\text{\hspace{1em}(3)}$$

假设网格均一，对流项采用中心差分，压力项采用中心差分，将以上对流项、压力项、扩散项替换到离散方程中可得
$$A_P^n{U}_P^{n+1}=\sum A_N^n{U}_N^{n+1}+S_P^n-\sum \frac{p_P^n+p_N^n}{2}S\text{\hspace{1em}(4)}$$

其中各个系数项为
$$A_P^n=\frac{V_P}{\Delta t}+\sum \frac{F_f^n}{2}+\sum \nu \frac{S_f}{d}$$

$$A_N^n=\nu \frac{S_f}{d}-\frac{F_f^n}{2}$$

$$S_P^n=\frac{V_P}{\Delta t}{U}_P^n$$

可以看出，以上系数均为$t$时刻的值即已知值。进一步展开可得
$$A_P^n{U}_P^{n+1}=A_W^n{U}_W^{n+1}+A_E^n{U}_E^{n+1}+A_S^n{U}_S^{n+1}+A_N^n{U}_N^{n+1}+S_P^n-\sum p_f^{n}S$$

$$A_P^n=\frac{V_P}{\Delta t}+\frac{h}{4}(u_E^n-u_W^n+v_N^n-v_S^n)+\frac{4\nu S_f}{d}$$

$$A_W^n=\frac{h}{4}(u_P^n+u_W^n)+\frac{\nu S_f}{d}$$

$$A_E^n=-\frac{h}{4}(u_P^n+u_E^n)+\frac{\nu S_f}{d}$$

$$A_S^n=\frac{h}{4}(v_P^n+v_S^n)+\frac{\nu S_f}{d}$$

$$A_N^n=-\frac{h}{4}(v_P^n+v_N^n)+\frac{\nu S_f}{d}$$

$$S_P^n=\frac{V_P}{\Delta t}{U}_P^n$$

1.3.1. u方程

$$A_P{u}_P^{n+1}=A_W{u}_W^{n+1}+A_E{u}_E^{n+1}+A_S{u}_S^{n+1}+A_N{u}_N^{n+1}+\frac{V_P}{\Delta t}{u}_P^n+\frac{h}{2}(p_W^n-p_E^n)$$

1.3.2. v方程

$$A_P{v}_P^{n+1}=A_W{v}_W^{n+1}+A_E{v}_E^{n+1}+A_S{v}_S^{n+1}+A_N{v}_N^{n+1}+\frac{V_P}{\Delta t}{v}_P^n+\frac{h}{2}(p_S^n-p_N^n)$$

1.4. 压力修正方法

以上推导出了速度迭代通式，即由初始时刻$n$演化到下一时刻$n+1$的方程。然而上式中的压力仅靠动量方程无法求解，可想而知还需用到连续性方程求出压力。思路是通过给定的速度场（或者由上述动量方程解出的速度场）来校正压力，使压力满足连续性方程。在此过程中可得压力的修正值$p^{\prime }$，对此处理方法可分为两种

1. 参考《数值传热学》SIMPLE算法章节，直接解$p^{\prime }$方程
2. OpenFOAM的做法，直接解压力泊松方程

以上两种做法殊途同归，详情可参考该文献

A slight variation of the SIMPLE algorithm can be considered where pressure equation is formulated directly to solve for $p$ and not for $p^{\prime }$

1.4.1. 连续性方程离散

对连续性方程做积分并运用高斯散度定理可得
$$\sum U_f^{n+1}S=0\text{\hspace{1em}(5)}$$

若收敛，则有离散方程成立
$$A_P^n{U}_P^{n+1}=\sum A_N^n{U}_N^{n+1}+S_P^n-\sum p_f^{n+1}S\text{\hspace{1em}(6)}$$

注意：系数$A_P,A_N,S_P$包含的速度均为上一步速度

移项可得
$$U_P^{n+1}=HbyA{|}_P^{n+1}-\frac{1}{A_P^n}\sum p_f^{n+1}S\text{\hspace{1em}(7)}$$

其中
$$HbyA{|}_P^{n+1}=\frac{\sum A_N^n{U}_N^{n+1}+S_P^n}{A_P^n}\text{\hspace{1em}(8)}$$

Rhie-Chow提出动量插值法（MIM），由体心速度的迭代通式直接类比成面心速度：
$$U_f^{n+1}=HbyA{|}_f^{n+1}-\frac{1}{A_f}{\left(\sum p_f^{n+1}S\right)}_f\text{\hspace{1em}(9)}$$

将上式代入到连续性方程的离散方程中可得：
$$\sum U_f^{n+1}\cdot S=\sum \left[HbyA{|}_f^{n+1}-\frac{1}{A_f}{\left(\sum p_f^{n+1}S\right)}_f\right]\cdot S=0$$

$$\sum HbyA{|}_f^{n+1}\cdot S=\sum \frac{1}{A_f}{\left(\sum p_f^{n+1}S\right)}_f\cdot S\text{\hspace{1em}(9.5)}$$

根据高斯散度定理，可以将上式反推为
$$\nabla \cdot HbyA{|}^{n+1}=\nabla \cdot \left(\frac{V_P}{A}\nabla p^{n+1}\right)\text{\hspace{1em}(10)}$$

可见，上式是关于压力$p$的泊松方程，其中$V_P$为网格体积。然而上式左右两端均为未知量，无法求解。

面心值需要体心值插值得到，插值算法定义在system/fvSchemes文件中

上式中产生网格体积$V_P$的原因是
$$(\nabla p{)}_P{V}_P\approx \int \nabla pdV=\int p_{f}dS\approx \sum p_{f}S$$

1.4.1.1. HbyA的讨论

上文中引进了一个新的场量，HbyA。CFD将一个物理问题转化为了代数方程组的求解问题，该代数方程组的形式为$A\varphi =Q$，其中$A$为系数矩阵，而本文中的$A_P$正是系数矩阵$A$的主对角线，对应的OpenFOAM中的代码就是UEqn.A()，在一个时间步内，UEqn.A()不变，而UEqn.H()由于包含新计算出的邻居速度，因此会变

1.4.2. 压力修正值方程推导

由上文动量方程的离散结果可知，$U^{n+1}$的计算通式应为公式$(4)$，但由于该式中压力仍为上一步值，因此存在滞后，实际上收敛后的$U^{n+1}$应满足公式$(6)$，因此此处将公式$(4)$的计算出的速度命名为$U^{\ast }$，而公式$(6)$计算的速度为$U^{n+1}$，两者相减即为修正值方程
$$A_P{U}_P^{\prime }=\sum A_N{U}_N^{\prime }-\sum p_f^{\prime }S\text{\hspace{1em}(11)}$$

引入略去邻点假设：$U_P^{\ast }$和$U_P^{n+1}$之间的区别仅是由$p^n$和$p^{n+1}$引发，而忽略周围邻居的影响，因此
$$A_P{U}_P^{\prime }\approx -\sum p_f^{\prime }S\text{\hspace{1em}(12)}$$

可以看出，如果求出$p^{\prime }$，就能求出$U^{\prime }$，与$U^{\ast }$相加就能求出$U^{n+1}$，因此现在的目标转化为求出$p^{\prime }$。将公式$(12)$与公式$(4)$相加，
$$A_P^n{U}_P^{n+1}=\sum A_N^n{U}_N^{\ast }+S_P^n-\sum p_f^{n+1}S\text{\hspace{1em}(13)}$$

其中$U^{n+1}=U^{\ast }+U^{\prime }$，$p^{n+1}=p^n+p^{\prime }$，移项并组建压力泊松方程可得
$$U_P^{n+1}=HbyA{|}_P^{\ast }-\frac{1}{A_P}\sum p_f^{n+1}S\text{\hspace{1em}(14)}$$

$$\nabla \cdot HbyA{|}^{\ast }=\nabla \cdot \left(\frac{V_P}{A}\nabla p^{n+1}\right)\text{\hspace{1em}(15)}$$

上式左端已知，右端未知，可以求解。求出压力后，代入公式$(14)$可以计算出新的速度。

可以从另一角度理解。给定初始时刻速度场$U_0$和压力场$p_0$，通过上文离散的动量方程，可解出更新后的速度场$U_1$，注意$U_1$是由$p_0$解出的，可想而知不满足连续性方程，因此要代入连续性方程解出和$U_1$匹配的压力场$p_1$

1.4.3. 压力泊松方程

待求解的压力泊松方程为
$$\sum (HbyA{)}_f\cdot S=\sum \frac{1}{A_f}{\left(\sum p_f^{n+1}S\right)}_f\cdot S$$

1.4.3.1. 左端项–HbyA项

HbyA是定义在网格体心的矢量，注意，HbyA应由新计算出的速度场构建，原因在下文给出
$$HbyA{|}_P=\frac{1}{A_P^n}(A_W^n{U}_W^{n+1}+A_E^n{U}_E^{n+1}+A_S^n{U}_S^{n+1}+A_N^n{U}_N^{n+1}+S_P^n)$$

$$HbyA{|}_P=\frac{1}{A_P^n}\left(A_W^n{u}_W^{n+1}+A_E^n{u}_E^{n+1}+A_S^n{u}_S^{n+1}+A_N^n{u}_N^{n+1}+\frac{V_P}{\Delta t}{u}_P^n{A}_W^n{v}_W^{n+1}+A_E^n{v}_E^{n+1}+A_S^n{v}_S^{n+1}+A_N^n{v}_N^{n+1}+\frac{V_P}{\Delta t}{v}_P^n\right)$$

由HbyA定义式先计算出$HbyA{|}_P$和$HbyA{|}_N$，然后再计算面上值
$$(HbyA{)}_f=\frac{HbyA{|}_P+HbyA{|}_N}{2}$$

则压力泊松方程的左端为
$$\begin{gathered} \sum (HbyA{)}_f\cdot S=\frac{HbyA{|}_P+HbyA{|}_E}{2}\cdot (h,0)+\frac{HbyA{|}_P+HbyA{|}_W}{2}\cdot (-h,0)+\frac{HbyA{|}_P+HbyA{|}_N}{2}\cdot (0,h)+\frac{HbyA{|}_P+HbyA{|}_S}{2}\cdot (0,-h) \\ =(HbyA{|}_{e,x}-HbyA{|}_{w,x}+HbyA{|}_{n,y}-HbyA{|}_{s,y})h \end{gathered}$$

上述方程对应着OpenFOAM中的代码

fvc::div(phiHbyA)

1.4.3.2. 右端项–求解压力项的两种方法

1. 由上文$\sum p_{f}S$的计算方法，同样先计算网格值再计算面上值
   $${\left(\sum p_f^{n+1}S\right)}_f=\frac{{\left(\sum p_f^{n+1}S\right)}_P+{\left(\sum p_f^{n+1}S\right)}_N}{2}$$

$$\sum {\left(\sum p_f^{n+1}S\right)}_f\cdot S=\sum {\left(\sum p_f^{n+1}S\right)}_w\cdot S_w+\sum {\left(\sum p_f^{n+1}S\right)}_e\cdot S_e+\sum {\left(\sum p_f^{n+1}S\right)}_s\cdot S_s+\sum {\left(\sum p_f^{n+1}S\right)}_n\cdot S_n$$

这种求解方法对应的代码是

fvc::div(fvc::grad(p))

2. 将$\sum p_{f}S$还原为原始形式$\nabla p{V}_P$，
   $$\int \nabla \cdot (\nabla p{V}_P)dV=V_P\int \nabla pdS=V_P\sum (\nabla p{)}_{f}S=V_P\sum \left((\nabla p{)}_f\cdot \frac{S}{S_f}\right)S_f$$

其中大括号内的项对应的代码为snGrad(p)，而上式整个对应的代码为

fvm::laplacian(p)

关于这两种方法的讨论在无痛苦NS方程笔记laplacian(ϕ) = div(grad(ϕ))?这一小节提到。而icoFoam求解器中采用的方法为第二种。按这种方法，

$$\sum \left((\nabla p{)}_f\cdot \frac{S}{S_f}\right)S_f=\frac{p_E-p_P}{d}h+\frac{p_P-p_W}{d}(-h)+\frac{p_N-p_P}{d}h+\frac{p_P-p_S}{d}(-h)$$

将$(A_P{)}_f$加入进来构成以下求解代码

fvm::laplacian(rAU, p)

令$C=1/A_P$则整理后
$$\begin{gathered} V_P\sum C_f\left((\nabla p{)}_f\cdot \frac{S}{S_f}\right)S_f=V_P\left[C_e\frac{p_E-p_P}{d}h+C_w\frac{p_P-p_W}{d}(-h)+C_n\frac{p_N-p_P}{d}h+C_s\frac{p_P-p_S}{d}(-h)\right] \\ =\frac{V_{P}h}{d}[C_w\ast p_W+C_e\ast p_E+C_s\ast p_S+C_n\ast p_N-(C_w+C_e+C_s+C_n)p_P] \end{gathered}$$

加上泊松方程的左端项sumPhiHbyA，则得到压力的更新方程
$$p_P=\frac{C_w\ast p_W+C_e\ast p_E+C_s\ast p_S+C_n\ast p_N-sumPhiHbyA\ast d/h/V_P}{C_w+C_e+C_s+C_n}$$

本文中$A_P$为系数，标量。注意到方程中求解的是rAU即$1/A_f$，因此$1/A_f=(1/A_P+1/A_N)/2$，详情参考文献。至此为止，压力方程组建完毕，可以求解。

1.4.3.3. AP和HbyA在边界面上的插值

目前看到两种处理方法，

1. 来自openfoamwiki的simpleFoam解析的第2.2.3小节，相当于在边界面上使用Rhie-Chow插值

The velocity at the boundary face should satisfy following equation:
$$U{|}_{bf}=\frac{H(U)}{a_P}{|}_{bf}-\frac{\nabla p}{a_P}{|}_{bf}$$

由于面上的$U$和$\nabla p$已知，因此由该方程可以解出边界面上的HbyA

2. 来自李东岳的回答。

phi, phiHbyA是通量，通量的边界是固定的，不需要插值

这种说法是有道理的，因为我观察了icoFoam计算出的phi，发现其大小为内部面的个数，即phi文件的元素个数和polyMesh/neighbour文件相同

本文的处理方法：回归原本的连续性方程。对于左上角网格，$U_w=(0,0),U_n=(1,0)$
$$\begin{gathered} \sum U_f\cdot S=U_e{S}_e+U_w{S}_w+U_s{S}_s+U_n{S}_n=U_e{S}_e+U_s{S}_s \\ =\left[HbyA{|}_e^{\ast }-\frac{1}{A_e}{\left(\sum p_f^{n+1}S\right)}_e\right](h,0)+\left[HbyA{|}_s^{\ast }-\frac{1}{A_s}{\left(\sum p_f^{n+1}S\right)}_s\right](0,-h)=0 \end{gathered}$$