Navier-Stokes方程的意义以及压力与剪应力的关系

1. NS方程的意义及推导

NS方程描述了一个基本的物理学原理，这个原理有两个名字：牛顿第二定律和动量守恒。

1.1. 选取流动模型来推导方程

在《计算流体力学基础及其应用》一书中介绍了四种流动模型，而作者以运动的无穷小微团模型为例介绍方程推导过程。该流动模型的意义是假设存在一个小微团，该微团会随流体运动，属于拉格朗日观点。

1.2. x方向力的来源

对该小微团进行受力分析，以x方向为例。力的来源包括

1. 体积力。这种力的特点是超距离的，比如重力，电场力；
2. 表面力。直接作用在微团表面，只能由两种原因引起：
   • 由包在微团周围的流体施加，即压力；
   • 由外部流体推拉微团所造成的，以摩擦方式作用于表面的切应力和正应力。一些教材中将切应力与正应力之和称为剪应力。
     • 切应力：与流体微团剪切变形的时间变化率有关
     • 正应力：与流体微团体积的时间变化率有关

1.3. 压力和正应力的辨析

1. 压力和正应力的关系很像是低雷诺数下单颗粒所受曳力的两种组成：形状阻力和运动阻力。

2. 压力是由包裹着微团的流体所施加的，不管流体是否运动，周围流体都会施加对微团的压力，所以这属于形状阻力。

3. 而正应力是由于x方向上紧挨着的两个微团存在x方向速度差而引起的拖拽力，是由相对运动引起的，所以属于运动阻力。

笔者以前混淆的一点是，当流体运动时，压力和正应力会共同存在吗？答案是肯定的。不过在一些体系中，正应力太小以至于可以忽略。例如在管流中，由伯努利原理，动压与静压之和处处不变，这里的静压指的是压力，而动压为速度，由于管道轴向的速度差较小，所以正应力较小，但不是没有。

在《传递过程原理》中提到了流体力学中的本构方程：
$$\sigma =pI+\tau$$
其中$\tau$为剪应力张量即上述正应力和切应力之和，$p$为压力矢量，$I$为单位张量。

1.4. 从动量守恒的观点出发

以上是从牛顿第二定律的观点来建立$F=ma$的关系。此外还可以通过动量守恒的观点，这时可以选用空间位置固定的有限控制体作为流动模型。该观点为：动量积累量=动量输入量-动量输出量+作用于微元的总力*作用时间

1.5. 方程形式

$$\frac{\partial \rho U}{\partial t}+\nabla \cdot (\rho UU)=-\nabla p-\nabla \cdot \tau +\rho g$$

方程的组成部分分别为

• 非稳态项
• 对流项
• 压力梯度项
• 粘性力梯度项
• 重力项

1.6. 不可压缩流体的NS方程：密度为constant

连续性方程
$$\nabla \cdot U=[\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}]\cdot [u,v,w{]}^T=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0$$

NS方程中的粘性力项展开可得，以x方向为例
$$-(\nabla \cdot \tau {)}_x=-\left(\frac{\partial {\tau }_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial {\tau }_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial {\tau }_{zx}}{\partial z}\right)$$

而${\tau }_{xx}$和${\tau }_{yx}$的表达式分别为
$${\tau }_{xx}=\lambda (\nabla \cdot U)+2\mu \frac{\partial u}{\partial x},{\tau }_{yx}={\tau }_{xy}=\mu \left(\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\right)$$
其中$\lambda$为第二粘性系数。斯托克斯假设$\lambda =-\frac{2}{3}\mu$，但至今仍未被证明。可见，当不可压缩时，$\lambda$项为0，因此继续代入可得
$$-(\nabla \cdot \tau {)}_x=\mu \left[\frac{\partial }{\partial x}\left(2\frac{\partial u}{\partial x}\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right)+\frac{\partial }{\partial z}\left(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x}\right)\right]$$

整理后，
$$-(\nabla \cdot \tau {)}_x=\mu \left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}\right)+\mu \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}\right)$$

结合连续性方程可以看出，上式最后一项为0，因此
$$\begin{gathered} -(\nabla \cdot \tau {)}_x=\mu {\nabla }^{2}u \\ -\nabla \cdot \tau =\mu {\nabla }^{2}U \end{gathered}$$

不可压缩流体的动量方程为
$$\frac{\partial \rho U}{\partial t}+\nabla \cdot (\rho UU)=-\nabla p+\mu {\nabla }^{2}U+\rho g$$