Navier-Stokes方程的意义以及压力与剪应力的关系
1. NS方程的意义及推导
NS方程描述了一个基本的物理学原理，这个原理有两个名字：牛顿第二定律和动量守恒。
1.1. 选取流动模型来推导方程
在《计算流体力学基础及其应用》一书中介绍了四种流动模型，而作者以运动的无穷小微团模型为例介绍方程推导过程。该流动模型的意义是假设存在一个小微团，该微团会随流体运动，属于拉格朗日观点。
1.2. x方向力的来源
对该小微团进行受力分析，以x方向为例。力的来源包括
- 体积力。这种力的特点是超距离的，比如重力，电场力；
- 表面力。直接作用在微团表面，只能由两种原因引起：
- 由包在微团周围的流体施加，即压力；
- 由外部流体推拉微团所造成的，以摩擦方式作用于表面的切应力和正应力。一些教材中将切应力与正应力之和称为剪应力。
- 切应力：与流体微团剪切变形的时间变化率有关
- 正应力：与流体微团体积的时间变化率有关
1.3. 压力和正应力的辨析
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压力和正应力的关系很像是低雷诺数下单颗粒所受曳力的两种组成：形状阻力和运动阻力。
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压力是由包裹着微团的流体所施加的，不管流体是否运动，周围流体都会施加对微团的压力，所以这属于形状阻力。
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而正应力是由于x方向上紧挨着的两个微团存在x方向速度差而引起的拖拽力，是由相对运动引起的，所以属于运动阻力。
笔者以前混淆的一点是，当流体运动时，压力和正应力会共同存在吗？答案是肯定的。不过在一些体系中，正应力太小以至于可以忽略。例如在管流中，由伯努利原理，动压与静压之和处处不变，这里的静压指的是压力，而动压为速度，由于管道轴向的速度差较小，所以正应力较小，但不是没有。
在《传递过程原理》中提到了流体力学中的本构方程：
σ = p I + τ \sigma = pI+\tau σ=pI+τ
其中 τ \tau τ为剪应力张量即上述正应力和切应力之和， p p p为压力矢量， I I I为单位张量。
1.4. 从动量守恒的观点出发
以上是从牛顿第二定律的观点来建立 F = m a F=ma F=ma的关系。此外还可以通过动量守恒的观点，这时可以选用空间位置固定的有限控制体作为流动模型。该观点为：动量积累量=动量输入量-动量输出量+作用于微元的总力*作用时间
1.5. 方程形式
∂ ρ U ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ U U ) = − ∇ p − ∇ ⋅ τ + ρ g \frac{\partial \rho U}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho UU) = -\nabla p - \nabla \cdot \tau + \rho g ∂t∂ρU+∇⋅(ρUU)=−∇p−∇⋅τ+ρg
方程的组成部分分别为
- 非稳态项
- 对流项
- 压力梯度项
- 粘性力梯度项
- 重力项
1.6. 不可压缩流体的NS方程：密度为constant
连续性方程
∇ ⋅ U = [ ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ] ⋅ [ u , v , w ] T = ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0 \nabla \cdot U = [\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}] \cdot [u,v,w]^T= \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0 ∇⋅U=[∂x∂,∂y∂,∂z∂]⋅[u,v,w]T=∂x∂u+∂y∂v+∂z∂w=0
NS方程中的粘性力项展开可得，以x方向为例
− ( ∇ ⋅ τ ) x = − ( ∂ τ x x ∂ x + ∂ τ y x ∂ y + ∂ τ z x ∂ z ) -(\nabla \cdot \tau)_x=-\left( \frac{\partial \tau_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z} \right) −(∇⋅τ)x=−(∂x∂τxx+∂y∂τyx+∂z∂τzx)
而 τ x x \tau_{xx} τxx和 τ y x \tau_{yx} τyx的表达式分别为
τ x x = λ ( ∇ ⋅ U ) + 2 μ ∂ u ∂ x , τ y x = τ x y = μ ( ∂ v ∂ x + ∂ u ∂ y ) \tau_{xx}=\lambda (\nabla \cdot U) + 2\mu \frac{\partial u}{\partial x}, \quad \tau_{yx}=\tau_{xy}=\mu \left( \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \right) \\ τxx=λ(∇⋅U)+2μ∂x∂u,τyx=τxy=μ(∂x∂v+∂y∂u)
其中 λ \lambda λ为第二粘性系数。斯托克斯假设 λ = − 2 3 μ \lambda=-\frac{2}{3}\mu λ=−32μ，但至今仍未被证明。可见，当不可压缩时， λ \lambda λ项为0，因此继续代入可得
− ( ∇ ⋅ τ ) x = μ [ ∂ ∂ x ( 2 ∂ u ∂ x ) + ∂ ∂ y ( ∂ u ∂ y + ∂ v ∂ x ) + ∂ ∂ z ( ∂ u ∂ z + ∂ w ∂ x ) ] -(\nabla \cdot \tau)_x = \mu \left[ \frac{\partial}{\partial x}\left( 2\frac{\partial u}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x}\right) \right] −(∇⋅τ)x=μ[∂x∂(2∂x∂u)+∂y∂(∂y∂u+∂x∂v)+∂z∂(∂z∂u+∂x∂w)]
整理后，
− ( ∇ ⋅ τ ) x = μ ( ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 ) + μ ∂ ∂ x ( ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z ) -(\nabla \cdot \tau)_x=\mu \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right) + \mu \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} \right) −(∇⋅τ)x=μ(∂x2∂2u+∂y2∂2u+∂z2∂2u)+μ∂x∂(∂x∂u+∂y∂v+∂z∂w)
结合连续性方程可以看出，上式最后一项为0，因此
− ( ∇ ⋅ τ ) x = μ ∇ 2 u − ∇ ⋅ τ = μ ∇ 2 U -(\nabla \cdot \tau)_x = \mu \nabla^2u \\ -\nabla \cdot \tau = \mu \nabla^2 U −(∇⋅τ)x=μ∇2u−∇⋅τ=μ∇2U
不可压缩流体的动量方程为
∂ ρ U ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ U U ) = − ∇ p + μ ∇ 2 U + ρ g \frac{\partial \rho U}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho UU) = -\nabla p + \mu \nabla^2 U + \rho g ∂t∂ρU+∇⋅(ρUU)=−∇p+μ∇2U+ρg