平稳序列的拟合和预测之序列的预测

目录

1.线性预测函数

2.预测方差最小原则

3.线性最小方差预测的性质

AR(p)序列的预测

例题

R语言预测举例

MA(q)序列的预测

例题

ARMA(p,q)序列预测

例题

小结

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序列只有为非白噪声时才可以进行预测哦！！

1.线性预测函数

根据平稳性和可逆性，ARMA(p,q)模型可写成

传递形式：

逆转形式：

则可以写成：

由此可得预测函数

则 步预测函数为：

2.预测方差最小原则

如何达到最小？

传递形式：

写成已知值的形式：预测误差此时为0

预测误差：

预测误差的方差

达到最小时：

3.线性最小方差预测的性质

条件无偏最小方差估计值：

 正态假设下置信区间

AR(p)序列的预测

预测值：

预测方差：

95%的置信区间：

例题

例:已知某超市月销售额近似服从AR(2)模型(单位:万元/每月)

某年第一季度月销售额（万元）分别为:101，96，97.2；请确定该超市第二季度每月销售额的95%的置信区间

 (1) 预测值计算

四月份：

五月份：

六月份：

(2) 预测方差计算

方差公式：

Green函数：

则计算的方差为：

(3)  置信区间

公式：

Green函数：

则求得：

R语言预测举例

程序包：forecast

例4-1（续）根据1900—1998年全球7级以上地震发生次数的观察值，预测1999-2008年全球7级以上地震发生次数

a<-read.table("D:/桌面/4_1.csv",sep=",",header=T)
x<-ts(a$number,start=1900)
plot(x) #时序图
library(aTSA) #aTSA导入程序包
adf.test(x) #单位根检验
for(i in 1:2)print(Box.test(x,lag=6*i))
acf(x)
pacf(x)
#参数估计
fit1=arima(x,order=c(1,0,0),method="ML")
fit1
#模型显著性检验
ts.diag(fit1)

#参数显著性检验
t<-abs(fit1$coef)/sqrt(diag(fit1$var.coef))
t
pt(t,length(x)-length(fit1$coef),lower.tail=F)

#预测
library(forecast)
fore1<-forecast(fit1,h=10)
fore1
plot(fore1)

大部分前面都介绍了，我们就只看一下，预测结果吧：

MA(q)序列的预测

预测值：

预测方差：

例题

例:已知某地区每年常驻人口数量近似服从MA(3)模型（单位:万人）:

 最近3年的常驻人口数量及一步预测数量如下:

预测未来5年该地区常住人口的95%置信区间

(1) 已知历史随机扰动项计算

(2) 预测值计算

(3)预测方差的计算

 

(4) 95%置信区间计算

置信区间公式：

则计算结果为：

ARMA(p,q)序列预测

预测值

其中

预测方差

例题

例:已知ARMA(1,1)模型为: 

 且x100=0.3 , 100=0.01 。预测未来3期序列值的95%的置信区间。

(1) 计算预测值

(2)预测方差计算

 (3)95%置信区间计算

则计算结果为：

小结

1、线性预测
用现有序列观察值的线性函数可以预测未来任意时刻的序列值2、预测方差最小原则
3、预测方法
预测值按拟合的模型预测，已知数据直接代入，未知序列值用预测植代替，未知扰动忽略
预测方差：

置信区间：