不定积分常用公式(详解版)

不定积分常用公式(详解版)(持续更新中~)


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不定积分常用公式(简洁版)

正文

  • 不定积分常用公式(详解版)(持续更新中~)
    • 第一部分
    • 第二部分
    • 第三部分
    • 第四部分
    • 其他


第一部分

1. ∫ x k   d x = 1 k + 1 x k + 1 + C , k ≠ − 1 ; { ∫ 1 x 2   d x = − 1 x + C , ∫ 1 x   d x = 2 x + C , 1.\int{x^k\,dx}=\frac{1}{k+1}x^{k+1}+C, k\ne-1; \begin{cases} \int{\frac{1}{x^2}\,dx=-\frac{1}{x}+C},\\ \int{\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=2\sqrt{x}+C}, \\ \end{cases} 1.xkdx=k+11xk+1+C,k=1;{x21dx=x1+C,x 1dx=2x +C,

备注:右边两个例子比较常出现

2. ∫ 1 x   d x = ln ⁡ ∣ x ∣ + C 2.\int{\frac{1}{x}}\,dx=\ln{\mid{x}\mid}+C 2.x1dx=lnx+C

备注:注意原函数包含绝对值;而原函数求导回去,对于对数求导法则,可视绝对值而不见

3. { ∫ e x   d x = e x + C ; ∫ a x   d x = a x ln ⁡ a + C , a > 0 且 a ≠ − 1 3. \begin{cases} \int{e^x}\,dx=e^x+C;\\ \int{a^x}\,dx=\frac{a^x}{\ln{a}}+C,a>0且a\ne-1 \end{cases} 3.{exdx=ex+C;axdx=lnaax+C,a>0a=1


第二部分

1. { ∫ sin ⁡ x   d x = − cos ⁡ x + C ; ∫ cos ⁡ x   d x = sin ⁡ x + C ; 1. \begin{cases} \int{\sin{x}\,dx}=-\cos{x}+C;\\ \int{\cos{x}\,dx}=\sin{x}+C; \end{cases} 1.{sinxdx=cosx+C;cosxdx=sinx+C;


2. { ∫ tan ⁡ x   d x = − ln ⁡ ∣ cos ⁡ x ∣ + C ; ① ∫ cot ⁡ x   d x = ln ⁡ ∣ sin ⁡ x ∣ + C ; ② 2. \begin{cases} \int{\tan{x}\,dx}=-\ln{\mid{\cos{x}}\mid}+C;①\\ \int{\cot{x}\,dx}=\ln{\mid\sin{x}\mid}+C;② \end{cases} 2.{tanxdx=lncosx+C;cotxdx=lnsinx+C;

备注:凑微分法

①过程:
∫ tan ⁡ x   d x = ∫ sin ⁡ x cos ⁡ x d x = ∫ 1 cos ⁡ x d ( − c o s x ) = − ln ⁡ ∣ cos ⁡ x ∣ + C \int{\tan{x}\,dx}=\int{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}dx}=\int{\frac{1}{\cos{x}}d(-cos{x})}=-\ln{|\cos{x}|}+C tanxdx=cosxsinxdx=cosx1d(cosx)=lncosx+C
同理,②类似
②过程:
∫ cot ⁡ x   d x = ∫ cos ⁡ x sin ⁡ x d x = ∫ 1 sin ⁡ x d ( sin ⁡ x ) = ln ⁡ ∣ sin ⁡ x ∣ + C \int{\cot{x}\,dx}=\int{\frac{\cos{x}}{\sin{x}}dx}=\int{\frac{1}{\sin{x}}d(\sin{x})}=\ln{|\sin{x}|}+C cotxdx=sinxcosxdx=sinx1d(sinx)=lnsinx+C


3. ∫ 1 cos ⁡ x d x = ∫ sec ⁡ x   d x = ln ⁡ ∣ sec ⁡ x + tan ⁡ x ∣ + C ; 3. \int{\frac{1}{\cos{x}}dx}=\int{\sec{x}\,dx}=\ln{\mid\sec{x}+\tan{x}\mid}+C; 3.cosx1dx=secxdx=lnsecx+tanx+C;

较为通俗的解释:对原函数反求导回去

过程:
( ln ⁡ ∣ sec ⁡ x + tan ⁡ x ∣ ) ′ = sec ⁡ x tan ⁡ x + sec ⁡ 2 x sec ⁡ x + tan ⁡ x (\ln{\mid\sec{x}+\tan{x}\mid})'=\frac{\sec{x}\tan{x}+\sec^2{x}}{\sec{x}+\tan{x}}\\ (lnsecx+tanx)=secx+tanxsecxtanx+sec2x
分子提出公因式 sec ⁡ x \sec{x} secx,得到:
原式 = sec ⁡ x ∗ tan ⁡ x + sec ⁡ x sec ⁡ x + tan ⁡ x = sec ⁡ x 原式=\sec{x}*\frac{\tan{x}+\sec{x}}{\sec{x}+\tan{x}}=\sec{x} 原式=secxsecx+tanxtanx+secx=secx

得出结果后倒着来一遍就是对原函数的推导,同理,下面一个也是类似


4. ∫ 1 sin ⁡ x d x = ∫ csc ⁡ x   d x = ln ⁡ ∣ csc ⁡ x − cot ⁡ x ∣ + C ; 4. \int{\frac{1}{\sin{x}}dx}=\int{\csc{x}\,dx}=\ln{\mid\csc{x}-\cot{x}\mid}+C; 4.sinx1dx=cscxdx=lncscxcotx+C;

与上一例同理,这里只做从原函数反推求导

过程:
( ln ⁡ ∣ csc ⁡ x − cot ⁡ x ∣ ) ′ = − csc ⁡ x cot ⁡ x − csc ⁡ 2 x csc ⁡ x − cot ⁡ x (\ln{\mid\csc{x}-\cot{x}\mid})'=-\frac{\csc{x}\cot{x}-\csc^2{x}}{\csc{x}-\cot{x}} (lncscxcotx)=cscxcotxcscxcotxcsc2x
分子提出公因式 csc ⁡ x \csc{x} cscx,得到:
原式 = − csc ⁡ x ∗ cot ⁡ x − csc ⁡ x csc ⁡ x − cot ⁡ x = csc ⁡ x 原式=-\csc{x}*\frac{\cot{x}-\csc{x}}{\csc{x}-\cot{x}}=\csc{x} 原式=cscxcscxcotxcotxcscx=cscx


5. { ∫ sec ⁡ 2 x d x = tan ⁡ x + C ; ( 由 tan ⁡ x 的导数公式可得出 ) ∫ csc ⁡ 2 x d x = − cot ⁡ x + C ; ( 由 cot ⁡ x 的导数公式可得出 ) 5. \begin{cases} \int{\sec^2{x}dx}=\tan{x}+C;(由\tan{x}的导数公式可得出)\\ \int{\csc^2{x}dx}=-\cot{x}+C;(由\cot{x}的导数公式可得出) \end{cases} 5.{sec2xdx=tanx+C;(tanx的导数公式可得出)csc2xdx=cotx+C;(cotx的导数公式可得出)


6. { ∫ sec ⁡ x tan ⁡ x d x = sec ⁡ x + C ; ( 由 sec ⁡ x 的导数公式可得出 ) ∫ csc ⁡ x cot ⁡ x d x = − csc ⁡ x + C ; ( 由 csc ⁡ x 的导数公式可得出 ) 6. \begin{cases} \int{\sec{x}\tan{x}dx}=\sec{x}+C;(由\sec{x}的导数公式可得出)\\ \int{\csc{x}\cot{x}dx}=-\csc{x}+C;(由\csc{x}的导数公式可得出) \end{cases} 6.{secxtanxdx=secx+C;(secx的导数公式可得出)cscxcotxdx=cscx+C;(cscx的导数公式可得出)


第三部分

1. { ∫ 1 1 + x 2 d x = arctan ⁡ x + C , ① ( 由 arctan ⁡ x 的导数公式可得出 ) ∫ 1 a 2 + x 2 d x = 1 a arctan ⁡ x a + C ( a > 0 ) ② ( 凑微分法,方法如下 ) 1. \begin{cases} \int{\frac{1}{1+x^2}dx}=\arctan{x}+C,①(由\arctan{x}的导数公式可得出)\\ \int{\frac{1}{a^2+x^2}dx}=\frac{1}{a}\arctan{\frac{x}{a}}+C(a>0)②(凑微分法,方法如下) \end{cases} 1.{1+x21dx=arctanx+C,(arctanx的导数公式可得出)a2+x21dx=a1arctanax+C(a>0)(凑微分法,方法如下)

过程:

∫ 1 a 2 + x 2 d x = 1 a ∫ 1 1 + ( x a ) 2 1 a d x = 1 a ∫ 1 1 + ( x a ) 2 d ( x a ) = 1 a arctan ⁡ x a + C \int{\frac{1}{a^2+x^2}dx}=\frac{1}{a}\int{\frac{1}{1+(\frac{x}{a})^2}\frac{1}{a}dx}=\frac{1}{a}\int{\frac{1}{1+(\frac{x}{a})^2}d(\frac{x}{a})}=\frac{1}{a}\arctan{\frac{x}{a}}+C a2+x21dx=a11+(ax)21a1dx=a11+(ax)21d(ax)=a1arctanax+C


2. { ∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin ⁡ x + C , ① ( 由 arcsin ⁡ x 的导数公式可得出 ) ∫ 1 a 2 − x 2 d x = 1 a arcsin ⁡ x a + C ( a > 0 ) ② ( 凑微分法,方法同 1 ) 2. \begin{cases} \int{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx}=\arcsin{x}+C,①(由\arcsin{x}的导数公式可得出)\\ \int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx}=\frac{1}{a}\arcsin{\frac{x}{a}}+C(a>0)②(凑微分法,方法同1) \end{cases} 2.{1x2 1dx=arcsinx+C,(arcsinx的导数公式可得出)a2x2 1dx=a1arcsinax+C(a>0)(凑微分法,方法同1)


3. { ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln ⁡ ( x + x 2 + a 2 ) + C ( 常见 a = 1 ) , ① ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln ⁡ ∣ x + x 2 − a 2 ∣ + C ( ∣ x ∣ > ∣ a ∣ ) . ② 3. \begin{cases} \int{\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx}=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C(常见a=1),①\\ \int{\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx}=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C(|x|>|a|).②\\ \end{cases} 3.{x2+a2 1dx=ln(x+x2+a2 )+C(常见a=1),x2a2 1dx=lnx+x2a2 +C(x>a).②

①证明:(换元法)
x = a tan ⁡ t , ∣ t ∣ < π 2 x=a\tan{t},|t|<\frac{\pi}{2} x=atant,t<2π,可得:
∫ 1 x 2 + a 2 d x = ∫ 1 a sec ⁡ t d ( a tan ⁡ t ) = ∫ sec ⁡ t d t = ln ⁡ ∣ sec ⁡ t + tan ⁡ t ∣ + C 1 \int{\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx} =\int{\frac{1}{a\sec{t}}d(a\tan{t})} =\int{\sec{t}dt} =\ln{\mid\sec{t}+\tan{t}\mid}+C_1 x2+a2 1dx=asect1d(atant)=sectdt=lnsect+tant+C1
tan ⁡ t = x a 回代 \tan{t}=\frac{x}{a}回代 tant=ax回代,得:
原式 = ln ⁡ ∣ x 2 + a 2 a + x a ∣ + C 1 = ln ⁡ ∣ x 2 + a 2 + x a ∣ + C 1 = ln ⁡ ∣ x 2 + a 2 + x ∣ + C \\ 原式=\ln|\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{a}+\frac{x}{a}|+C_1=\ln|\frac{\sqrt{x^2+a^2}+x}{a}|+C_1=\ln|\sqrt{x^2+a^2}+x|+C 原式=lnax2+a2 +ax+C1=lnax2+a2 +x+C1=lnx2+a2 +x+C

②同理证明:(换元法)
x = a sec ⁡ t , { 若 x > 0 , 则 0 < t < π 2 , 若 x < 0 , 则 π 2 < t < π , x=a\sec{t}, \begin{cases} 若x>0,则0x=asect,{x>0,0<t<2π,x<0,2π<t<π,,可得:

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ∫ 1 a tan ⁡ t d ( a sec ⁡ t ) = ∫ sec ⁡ t d t = ln ⁡ ∣ sec ⁡ t + tan ⁡ t ∣ + C 1 \int{\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx} =\int{\frac{1}{a\tan{t}}d(a\sec{t})} =\int{\sec{t}dt} =\ln{\mid\sec{t}+\tan{t}\mid}+C_1 x2a2 1dx=atant1d(asect)=sectdt=lnsect+tant+C1
sec ⁡ t = x a 回代 \sec{t}=\frac{x}{a}回代 sect=ax回代,得:
原式 = ln ⁡ ∣ x a + x 2 − a 2 a ∣ + C 1 = ln ⁡ ∣ x + x 2 − a 2 a ∣ + C 1 = ln ⁡ ∣ x + x 2 − a 2 ∣ + C \\ 原式=\ln|\frac{x}{a}+\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}|+C_1=\ln|\frac{x+\sqrt{x^2-a^2}}{a}|+C_1=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C 原式=lnax+ax2a2 +C1=lnax+x2a2 +C1=lnx+x2a2 +C


第四部分

1. { ∫ 1 x 2 − a 2 d x = 1 2 a ln ⁡ ∣ x − a x + a ∣ + C      ① ∫ 1 a 2 − x 2 d x = 1 2 a ln ⁡ ∣ x + a x − a ∣ + C      ② 1. \begin{cases} \int{\frac{1}{x^2-a^2}dx}=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C\,\,\,\,①\\ \int{\frac{1}{a^2-x^2}dx}=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x+a}{x-a}|+C\,\,\,\,② \end{cases} 1.{x2a21dx=2a1lnx+axa+Ca2x21dx=2a1lnxax+a+C

①证明:
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ∫ 1 ( x + a ) ( x − a ) d x = ∫ 1 2 a ( 1 x − a − 1 x + a ) d x = 1 2 a ( ∫ 1 x − a d ( x − a ) − ∫ 1 x + a d ( x + a ) ) = 1 2 a ( ln ⁡ ∣ x − a x + a ∣ ) + C , \int{\frac{1}{x^2-a^2}dx}=\int{\frac{1}{(x+a)(x-a)}dx} =\int{\frac{1}{2a}(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a})dx} =\frac{1}{2a}(\int{\frac{1}{x-a}d(x-a)}-\int{\frac{1}{x+a}d(x+a)}) =\frac{1}{2a}(\ln{|\frac{x-a}{x+a}|})+C, x2a21dx=(x+a)(xa)1dx=2a1(xa1x+a1)dx=2a1(xa1d(xa)x+a1d(x+a))=2a1(lnx+axa)+C

②证明:
∫ 1 a 2 − x 2 d x = ∫ 1 ( a + x ) ( a − x ) d x = ∫ 1 2 a ( 1 a − x + 1 a + x ) d x = 1 2 a ( − ∫ 1 a − x d ( a − x ) + ∫ 1 a + x d ( a + x ) ) = 1 2 a ( ln ⁡ ∣ x + a x − a ∣ ) + C , \int{\frac{1}{a^2-x^2}dx}=\int{\frac{1}{(a+x)(a-x)}dx} =\int{\frac{1}{2a}(\frac{1}{a-x}+\frac{1}{a+x})dx} =\frac{1}{2a}(-\int{\frac{1}{a-x}d(a-x)}+\int{\frac{1}{a+x}d(a+x)}) =\frac{1}{2a}(\ln{|\frac{x+a}{x-a}|})+C, a2x21dx=(a+x)(ax)1dx=2a1(ax1+a+x1)dx=2a1(ax1d(ax)+a+x1d(a+x))=2a1(lnxax+a)+C


2. ∫ a 2 − x 2 d x = a 2 2 arcsin ⁡ x a + x 2 a 2 − x 2 + C ( a > ∣ x ∣ ⩾ 0 ) . 2. \int{\sqrt{a^2-x^2}dx}=\frac{a^2}{2}\arcsin{\frac{x}{a}}+{\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C}(a>|x|\geqslant{0}). 2.a2x2 dx=2a2arcsinax+2xa2x2 +C(a>x0).

证明:(换元法)
x = a sin ⁡ t , ∣ t ∣ < π 2 x=a\sin{t},|t|<\frac{\pi}{2} x=asint,t<2π,可得:
∫ a 2 − x 2 d x = ∫ a cos ⁡ t d ( a sin ⁡ t ) = ∫ a 2 cos ⁡ 2 t d t = a 2 ( t 2 + sin ⁡ 2 t 4 ) \int{\sqrt{a^2-x^2}dx}=\int{a\cos{t}d(a\sin{t})}=\int{a^2\cos^2{t}dt}=a^2(\frac{t}{2}+\frac{\sin{2t}}{4}) a2x2 dx=acostd(asint)=a2cos2tdt=a2(2t+4sin2t)
因为 sin ⁡ ( 2 t ) = 2 sin ⁡ t cos ⁡ t , \sin{(2t)}=2\sin{t}\cos{t}, sin(2t)=2sintcost, sin ⁡ t = x a 回代 \sin{t}=\frac{x}{a}回代 sint=ax回代,得:
原式 = a 2 ( 1 2 arcsin ⁡ x a + x a 2 − x 2 2 a 2 ) = a 2 2 arcsin ⁡ x a + x 2 a 2 − x 2 + C \\ 原式=a^2(\frac{1}{2}\arcsin{\frac{x}{a}}+\frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2a^2}) =\frac{a^2}{2}\arcsin{\frac{x}{a}}+{\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C} 原式=a2(21arcsinax+2a2xa2x2 )=2a2arcsinax+2xa2x2 +C


3. { ∫ sin ⁡ 2 x d x = x 2 − sin ⁡ 2 x 4 + C . ( sin ⁡ 2 x = 1 − cos ⁡ 2 x 2 ) ∫ cos ⁡ 2 x d x = x 2 + sin ⁡ 2 x 4 + C . ( cos ⁡ 2 x = 1 + cos ⁡ 2 x 2 ) ∫ tan ⁡ 2 x d x = tan ⁡ x − x + C . ( tan ⁡ 2 x = sec ⁡ 2 x − 1 ) ∫ cot ⁡ 2 x d x = − cot ⁡ x − x + C . ( cot ⁡ 2 x = csc ⁡ 2 x − 1 ) 3. \begin{cases} \int{\sin^2{x}dx}=\frac{x}{2}-\frac{\sin{2x}}{4}+C.(\sin^2{x}=\frac{1-\cos{2x}}{2})\\ \int{\cos^2{x}dx}=\frac{x}{2}+\frac{\sin{2x}}{4}+C.(\cos^2{x}=\frac{1+\cos{2x}}{2})\\ \int{\tan^2{x}dx}=\tan{x}-x+C.(\tan^2{x}=\sec^2{x}-1)\\ \int{\cot^2{x}dx}=-\cot{x}-x+C.(\cot^2{x}=\csc^2{x}-1)\\ \end{cases} 3. sin2xdx=2x4sin2x+C.(sin2x=21cos2x)cos2xdx=2x+4sin2x+C.(cos2x=21+cos2x)tan2xdx=tanxx+C.(tan2x=sec2x1)cot2xdx=cotxx+C.(cot2x=csc2x1)


其他

1. ∫ x 2 1 + x 2 d x = x − arctan ⁡ x + C 1. \int{\frac{x^2}{1+x^2}dx}=x-\arctan{x}+C 1.1+x2x2dx=xarctanx+C

证明:
∫ x 2 1 + x 2 d x = ∫ 1 + x 2 − 1 1 + x 2 d x = ∫ d x − ∫ 1 1 + x 2 d x = x − arctan ⁡ x + C \int{\frac{x^2}{1+x^2}dx}=\int{\frac{1+x^2-1}{1+x^2}dx}=\int{dx}-\int{\frac{1}{1+x^2}dx}=x-\arctan{x}+C 1+x2x2dx=1+x21+x21dx=dx1+x21dx=xarctanx+C


2. ∫ 1 1 + sin ⁡ x d x = tan ⁡ x − 1 cos ⁡ x + C 2. \int{\frac{1}{1+\sin{x}}}dx=\tan{x}-\frac{1}{\cos{x}}+C 2.1+sinx1dx=tanxcosx1+C

证明:
分子分母同乘 1 − sin ⁡ x 1-\sin{x} 1sinx,得
原式 = ∫ 1 − sin ⁡ x cos ⁡ 2 x d x = ∫ 1 cos ⁡ 2 x d x − ∫ sin ⁡ x cos ⁡ 2 x d x = tan ⁡ x + ( ∫ 1 cos ⁡ 2 x d cos ⁡ x ) = tan ⁡ x − 1 cos ⁡ x + C 原式=\int{\frac{1-\sin{x}}{\cos^2{x}}}dx=\int{\frac{1}{\cos^2{x}}}dx-\int{\frac{\sin{x}}{\cos^2{x}}}dx=\tan{x}+(\int{\frac{1}{\cos^2{x}}d\cos{x}})=\tan{x}-\frac{1}{\cos{x}}+C 原式=cos2x1sinxdx=cos2x1dxcos2xsinxdx=tanx+(cos2x1dcosx)=tanxcosx1+C


3. ∫ a 2 + x 2 d x = 1 2 [ x x 2 + a 2 + a 2 ln ⁡ ∣ a 2 + x 2 + x a ∣ + C ] 3. \int{\sqrt{a^2+x^2}}dx=\frac{1}{2}[x\sqrt{x^2+a^2}+a^2\ln|\frac{\sqrt{a^2+x^2}+x}{a}|+C] 3.a2+x2 dx=21[xx2+a2 +a2lnaa2+x2 +x+C]

证明:
令 x = a tan ⁡ t , ( 其中 − π 2 < t < π 2 ) 令x=a\tan{t},(其中-\frac{\pi}{2}\lt{t}\lt{\frac{\pi}{2}}) x=atant,(其中2π<t<2π)

原式 = ∫ a 2 + ( a tan ⁡ t ) 2 d ( a tan ⁡ t ) = a 2 ∫ sec ⁡ t d tan ⁡ t = a 2 [ sec ⁡ t tan ⁡ t − ∫ tan ⁡ 2 t sec ⁡ t d t ] , 原式=\int{\sqrt{a^2+(a\tan{t})^2}}d(a\tan{t})=a^2\int{\sec{t}}d\tan{t}=a^2[\sec{t}\tan{t}-\int{\tan^2{t}}\sec{t}dt], 原式=a2+(atant)2 d(atant)=a2sectdtant=a2[secttanttan2tsectdt],
其中, ∫ tan ⁡ 2 t sec ⁡ t d t = ∫ ( sec ⁡ 2 t − 1 ) sec ⁡ t d t = ∫ sec ⁡ 3 t d t − ∫ sec ⁡ t d t 其中,\int{\tan^2{t}}\sec{t}dt=\int{(\sec^2{t}-1)\sec{t}}dt=\int{\sec^3{t}dt}-\int{\sec{t}dt} 其中,tan2tsectdt=(sec2t1)sectdt=sec3tdtsectdt

⇒   原式 : a 2 ∫ sec ⁡ 3 t d t = a 2 [ sec ⁡ t tan ⁡ t − ∫ sec ⁡ 3 t d t + ∫ sec ⁡ t d t ] \Rightarrow\,原式:a^2\int{\sec^3{t}dt}=a^2[\sec{t}\tan{t}-\int{\sec^3{t}dt}+\int{\sec{t}dt}] 原式:a2sec3tdt=a2[secttantsec3tdt+sectdt]
⇒   a 2 ∫ sec ⁡ 3 t d t = 1 2 a 2 [ sec ⁡ t tan ⁡ t + ∫ sec ⁡ t d t ] = 1 2 a 2 [ sec ⁡ t tan ⁡ t + ln ⁡ ∣ sec ⁡ t + tan ⁡ t ∣ + C ] \Rightarrow\,a^2\int{\sec^3{t}dt}=\frac{1}{2}a^2[\sec{t}\tan{t}+\int{\sec{t}dt}]=\frac{1}{2}a^2[\sec{t}\tan{t}+\ln|\sec{t}+\tan{t}|+C] a2sec3tdt=21a2[secttant+sectdt]=21a2[secttant+lnsect+tant+C]
再将 x = a tan ⁡ t 再将x=a\tan{t} 再将x=atant带入得:
原式 = 1 2 [ x x 2 + a 2 + a 2 ln ⁡ ∣ a 2 + x 2 + x a ∣ + C ] 原式=\frac{1}{2}[x\sqrt{x^2+a^2}+a^2\ln|\frac{\sqrt{a^2+x^2}+x}{a}|+C] 原式=21[xx2+a2 +a2lnaa2+x2 +x+C]

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