不定积分常用公式（详解版）

不定积分常用公式（详解版）（持续更新中~）

---

太长不看可移步这篇文章
不定积分常用公式（简洁版）

---

第一部分

$1.\int x^{k}dx=\frac{1}{k+1}{x}^{k+1}+C,k\ne -1;\{\begin{array}{l}\int \frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}+C,\\ \int \frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+C,\end{array}$

备注:右边两个例子比较常出现

$2.\int \frac{1}{x}dx=\ln \mid x\mid +C$

备注:注意原函数包含绝对值；而原函数求导回去，对于对数求导法则，可视绝对值而不见

$3.\{\begin{array}{l}\int e^{x}dx=e^x+C;\\ \int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C,a>0且a\ne -1\end{array}$

---

第二部分

$1.\{\begin{array}{l}\int \sin xdx=-\cos x+C;\\ \int \cos xdx=\sin x+C;\end{array}$

---

$2.\{\begin{array}{l}\int \tan xdx=-\ln \mid \cos x\mid +C;①\\ \int \cot xdx=\ln \mid \sin x\mid +C;②\end{array}$

备注:凑微分法

①过程：
$$\int \tan xdx=\int \frac{\sin x}{\cos x}dx=\int \frac{1}{\cos x}d(-cosx)=-\ln |\cos x|+C$$
同理，②类似
②过程：
$$\int \cot xdx=\int \frac{\cos x}{\sin x}dx=\int \frac{1}{\sin x}d(\sin x)=\ln |\sin x|+C$$

---

$3.\int \frac{1}{\cos x}dx=\int \sec xdx=\ln \mid \sec x+\tan x\mid +C;$

较为通俗的解释：对原函数反求导回去

过程：
$$(\ln \mid \sec x+\tan x\mid {)}^{\prime }=\frac{\sec x\tan x+{\sec }^{2}x}{\sec x+\tan x}$$
分子提出公因式$\sec x$,得到：
$$原式=\sec x\ast \frac{\tan x+\sec x}{\sec x+\tan x}=\sec x$$

得出结果后倒着来一遍就是对原函数的推导，同理，下面一个也是类似

---

$4.\int \frac{1}{\sin x}dx=\int \csc xdx=\ln \mid \csc x-\cot x\mid +C;$

与上一例同理，这里只做从原函数反推求导

过程：
$$(\ln \mid \csc x-\cot x\mid {)}^{\prime }=-\frac{\csc x\cot x-{\csc }^{2}x}{\csc x-\cot x}$$
分子提出公因式$\csc x$,得到：
$$原式=-\csc x\ast \frac{\cot x-\csc x}{\csc x-\cot x}=\csc x$$

---

$5.\{\begin{array}{l}\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C;(由\tan x的导数公式可得出)\\ \int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C;(由\cot x的导数公式可得出)\end{array}$

---

$6.\{\begin{array}{l}\int \sec x\tan xdx=\sec x+C;(由\sec x的导数公式可得出)\\ \int \csc x\cot xdx=-\csc x+C;(由\csc x的导数公式可得出)\end{array}$

---

第三部分

$1.\{\begin{array}{l}\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C,①(由\arctan x的导数公式可得出)\\ \int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C(a>0)②(凑微分法，方法如下)\end{array}$

过程：

$$\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\int \frac{1}{1+(\frac{x}{a}{)}^2}\frac{1}{a}dx=\frac{1}{a}\int \frac{1}{1+(\frac{x}{a}{)}^2}d(\frac{x}{a})=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$$

---

$2.\{\begin{array}{l}\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C,①(由\arcsin x的导数公式可得出)\\ \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\frac{1}{a}\arcsin \frac{x}{a}+C(a>0)②(凑微分法，方法同1)\end{array}$

---

$3.\{\begin{array}{l}\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln (x+\sqrt{x^2+a^2})+C(常见a=1),①\\ \int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=\ln |x+\sqrt{x^2-a^2}|+C(|x|>|a|).②\end{array}$

①证明：(换元法)
令$x=a\tan t,|t|<\frac{\pi }{2}$,可得：
$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\int \frac{1}{a\sec t}d(a\tan t)=\int \sec tdt=\ln \mid \sec t+\tan t\mid +C_1$$
将$\tan t=\frac{x}{a}回代$，得：
$$原式=\ln |\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{a}+\frac{x}{a}|+C_1=\ln |\frac{\sqrt{x^2+a^2}+x}{a}|+C_1=\ln |\sqrt{x^2+a^2}+x|+C$$

②同理证明：(换元法)
令$x=a\sec t,\{\begin{array}{l}若x>0,则0<t<\frac{\pi }{2},\\ 若x<0,则\frac{\pi }{2}<t<\pi ,\end{array}$,可得：

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=\int \frac{1}{a\tan t}d(a\sec t)=\int \sec tdt=\ln \mid \sec t+\tan t\mid +C_1$$
将$\sec t=\frac{x}{a}回代$，得：
$$原式=\ln |\frac{x}{a}+\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}|+C_1=\ln |\frac{x+\sqrt{x^2-a^2}}{a}|+C_1=\ln |x+\sqrt{x^2-a^2}|+C$$

---

第四部分

$1.\{\begin{array}{l}\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}\ln |\frac{x-a}{x+a}|+C①\\ \int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}\ln |\frac{x+a}{x-a}|+C②\end{array}$

①证明：
$$\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\int \frac{1}{(x+a)(x-a)}dx=\int \frac{1}{2a}(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a})dx=\frac{1}{2a}(\int \frac{1}{x-a}d(x-a)-\int \frac{1}{x+a}d(x+a))=\frac{1}{2a}(\ln |\frac{x-a}{x+a}|)+C，$$

②证明：
$$\int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\int \frac{1}{(a+x)(a-x)}dx=\int \frac{1}{2a}(\frac{1}{a-x}+\frac{1}{a+x})dx=\frac{1}{2a}(-\int \frac{1}{a-x}d(a-x)+\int \frac{1}{a+x}d(a+x))=\frac{1}{2a}(\ln |\frac{x+a}{x-a}|)+C，$$

---

$2.\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C(a>|x|⩾0).$

证明：(换元法)
令$x=a\sin t,|t|<\frac{\pi }{2}$,可得：
$$\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\int a\cos td(a\sin t)=\int a^2{\cos }^{2}tdt=a^2(\frac{t}{2}+\frac{\sin 2t}{4})$$
因为$\sin (2t)=2\sin t\cos t,$将$\sin t=\frac{x}{a}回代$，得：
$$原式=a^2(\frac{1}{2}\arcsin \frac{x}{a}+\frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2a^2})=\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C$$

---

$3.\{\begin{array}{l}\int {\sin }^{2}xdx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C.({\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2})\\ \int {\cos }^{2}xdx=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C.({\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2})\\ \int {\tan }^{2}xdx=\tan x-x+C.({\tan }^{2}x={\sec }^{2}x-1)\\ \int {\cot }^{2}xdx=-\cot x-x+C.({\cot }^{2}x={\csc }^{2}x-1)\end{array}$

---

其他

$1.\int \frac{x^2}{1+x^2}dx=x-\arctan x+C$

证明：
$$\int \frac{x^2}{1+x^2}dx=\int \frac{1+x^2-1}{1+x^2}dx=\int dx-\int \frac{1}{1+x^2}dx=x-\arctan x+C$$

---

$2.\int \frac{1}{1+\sin x}dx=\tan x-\frac{1}{\cos x}+C$

证明：
分子分母同乘$1-\sin x$,得
$$原式=\int \frac{1-\sin x}{{\cos }^{2}x}dx=\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx-\int \frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x+(\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}d\cos x)=\tan x-\frac{1}{\cos x}+C$$

---

$3.\int \sqrt{a^2+x^2}dx=\frac{1}{2}[x\sqrt{x^2+a^2}+a^2\ln |\frac{\sqrt{a^2+x^2}+x}{a}|+C]$

证明：
$令x=a\tan t,(其中-\frac{\pi }{2}<t<\frac{\pi }{2})$得

$$原式=\int \sqrt{a^2+(a\tan t{)}^2}d(a\tan t)=a^2\int \sec td\tan t=a^2[\sec t\tan t-\int {\tan }^{2}t\sec tdt],$$
$其中，\int {\tan }^{2}t\sec tdt=\int ({\sec }^{2}t-1)\sec tdt=\int {\sec }^{3}tdt-\int \sec tdt$

$$\Rightarrow 原式:a^2\int {\sec }^{3}tdt=a^2[\sec t\tan t-\int {\sec }^{3}tdt+\int \sec tdt]$$
$$\Rightarrow a^2\int {\sec }^{3}tdt=\frac{1}{2}{a}^2[\sec t\tan t+\int \sec tdt]=\frac{1}{2}{a}^2[\sec t\tan t+\ln |\sec t+\tan t|+C]$$
$再将x=a\tan t$带入得:
$$原式=\frac{1}{2}[x\sqrt{x^2+a^2}+a^2\ln |\frac{\sqrt{a^2+x^2}+x}{a}|+C]$$