概论_第2章_重点_随机变量函数的概率分布___定理法和分布函数法的应用

一 定义

概括地说： 随机变量Y是随机变量X的函数。

设g(x) 是一给定的连续函数， 称Y=g(X) 为随机变量X的一个函数， Y也是一个随机变量。当X取值

时，Y取值 .

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本文讨论连续型随机变量函数。

定理1:

设X为连续型随机变量， 其概率密度为， 设g(x) 是一严格单调的可导函数， 其值域为( α,  β ),  且 g'(x) ≠0,    记 x=h(y) 为 y=g(x)的反函数， 则 Y=g(X) 的概率密度

从定理可以看出，我们要确定g(x) 是为了求出反函数h(y),   进而求出导数h'(y),

h(y) 是以y为自变量的 表示x的函数。

 二  看例题

题1

题2

设随机变量X在区间(0,  1) 服从均匀分布，  求Y = eˣ 的概率密度

解： 先用第一种方法：定理法求解

依题意， 易得出g(x) = eᕽ,  

所以得出h(y):   X = lnY,      h'(y) = 1/y.    

因为 X服从均匀分布，  

现在需要求出 α,  β,   

α = min[g(-∞), g(+∞)] = g(0) =1,  β=max[g(-∞), g(+∞)]= g(1) = e,

第二种方法 分布函数法，求解密度函数

基本过程是 先求出Fᵧ(y),  再对其求导数fᵧ(y).

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题3

设X ~ N(0, 1),  求 Y =2X²+1的概率密度

解：  第一种方法：定理法

依题意， g(x) = 2x² + 1,  g'(x) = 4x,   注意 g'(x) 可能等于0，不满足定理法的前提条件，

所以不能用定理法来解答！！！

到现在我们看到，不是任何题目都能使用 定理法求概率密度。

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只能使用第二种方法：分布函数法

先求出Fᵧ(y),  再对其求导数fᵧ(y).

我们要明白求解分布函数，必须分区间！也就是说 y 分段讨论。

因为Y>=1,   所以区分以下3种情况讨论（为什么以 1 为分界点来讨论，稍加思考可知）：

1. 当 y<1,  F(y)= P{Y<=y} =0,

2. 当 y=1,  F(y) =0,          因为连续型随机变量在某点的概率=0 

3. 当 y>1,

Fᵧ(y) = P{Y ≤ y} = P{2x² + 1 ≤ y} = P{   < X <  }

        = Fᵪ() — Fᵪ( )

所以