概论_第2章_重点_随机变量函数的概率分布___定理法和分布函数法的应用
一 定义
概括地说： 随机变量Y是随机变量X的函数。
设g(x) 是一给定的连续函数， 称Y=g(X) 为随机变量X的一个函数， Y也是一个随机变量。当X取值
时，Y取值 
.
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本文讨论连续型随机变量函数。
定理1:
设X为连续型随机变量， 其概率密度为
， 设g(x) 是一严格单调的可导函数， 其值域为( α, β ), 且 g'(x) ≠0, 记 x=h(y) 为 y=g(x)的反函数， 则 Y=g(X) 的概率密度
从定理可以看出，我们要确定g(x) 是为了求出反函数h(y), 进而求出导数h'(y),
h(y) 是以y为自变量的 表示x的函数。
二 看例题
题1
题2
设随机变量X在区间(0, 1) 服从均匀分布， 求Y = eˣ 的概率密度
解： 先用第一种方法：定理法求解
依题意， 易得出g(x) = eᕽ,
所以得出h(y): X = lnY, h'(y) = 1/y.
因为 X服从均匀分布， 
现在需要求出 α, β,
α = min[g(-∞), g(+∞)] = g(0) =1, β=max[g(-∞), g(+∞)]= g(1) = e,
第二种方法 分布函数法，求解密度函数
基本过程是 先求出Fᵧ(y), 再对其求导数fᵧ(y).
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题3
设X ~ N(0, 1), 求 Y =2X²+1的概率密度
解： 第一种方法：定理法
依题意， g(x) = 2x² + 1, g'(x) = 4x, 注意 g'(x) 可能等于0，不满足定理法的前提条件，
所以不能用定理法来解答！！！
到现在我们看到，不是任何题目都能使用 定理法求概率密度。
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只能使用第二种方法：分布函数法
先求出Fᵧ(y), 再对其求导数fᵧ(y).
我们要明白求解分布函数，必须分区间！也就是说 y 分段讨论。
因为Y>=1, 所以区分以下3种情况讨论（为什么以 1 为分界点来讨论，稍加思考可知）：
1. 当 y<1, F(y)= P{Y<=y} =0,
2. 当 y=1, F(y) =0, 因为连续型随机变量在某点的概率=0
3. 当 y>1,
Fᵧ(y) = P{Y ≤ y} = P{2x² + 1 ≤ y} = P{ 
< X < 
}
= Fᵪ(
) — Fᵪ( 
)
所以 