第一类换元法专项训练习题

前置知识：第一类换元法（凑微分法）

题1： 计算$\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx$

解：原式$=\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}d(x^2+1)=\sqrt{1+x^2}+C$

题2： 计算$\int \frac{5^{\frac{1}{x}}}{x^2}dx$

解：原式$=-\int 5^{\frac{1}{x}}d(\frac{1}{x})=-\frac{1}{\ln 5}\cdot 5^{\frac{1}{x}}+C$

题3： 计算$\int \frac{1}{x(1+\ln x)}dx$

解：原式$=\int \frac{1}{1+\ln x}d(1+\ln x)=\ln |1+\ln x|+C$

题4： 计算$\int \frac{1}{e^x+e^{-x}}dx$

解：原式$=\int \frac{e^x}{1+(e^x{)}^2}dx=\int \frac{1}{1+(e^x{)}^2}d(e^x)=\arctan e^x+C$

题5： 计算$\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx$

解：原式$=2\int e^{\sqrt{x}}d(\sqrt{x})=2e^{\sqrt{x}}+C$

题6： 计算$\int \frac{dx}{x\ln x\ln (\ln x)}$

解：原式$=\int \frac{1}{\ln (\ln x)}d(\ln (\ln x))=\ln (\ln (\ln x))+C$