何为DTFT、DFT?他们的关系是什么?

在刚开始学习数字信号处理时,对于各种傅里叶变换特别是离散傅里叶变化的概念及作用完全不清楚,在整理了CSDN、百度百科、知乎上关于DTFT、DFT的各知识点后才算理解,下面是自己的总结加整理集合的资料。

通过下⾯的⽹络⽂献得出FS,FFT,DTFT,DFT的关系结论:
在数字信号处理中,对处理数字信号进⾏傅⾥叶变换转频域的情况更多,数字信号来⾃于对模拟信号的采样,即将模拟信号的连续采样后变为离散,这时得到的离散信号有周期性的有⾮周期性的,对于⾮周期性的离散信号进⾏傅⾥叶变换时为DTFT,对于周期性的离散信号进⾏傅⾥叶变换为DFT。为什么DFT更适于机器运算?现在⾮常容易理解了:第⼀点,⾮周期性的离散信号序列⽆限⻓,机器是⽆法处理⽆限⻓序列的,那么周期离散信号存在周期性,可以转为有限序列,即⼀个周期:第⼆点,⾮周期离散信号经过傅⾥叶变换后在频域上是周期性且连续的,周期性⽆所谓,连续就要了机器的命了,显⽽易⻅如果频域是离散的更容易被机器处理,那么什么信号在频域上是离散且周期的呢,那就是时域上的离散周期信号,即为DFT。
反思:
为什么之前⽆法理解FFT、DTFT、DFT间的关系,特别是DTFT和DFT间的区别?原因在没有深刻理解DTFT和DFT的概念,所以没有悟透DTFT和DFT差的这个时间T的含义。

参考资料部分~

知乎:https://www.zhihu.com/question/21314374/answer/123274564
DTFT是给⼈⽤的,DFT是给机器⽤的,DFT是对DTFT的频域采样。
说DFT之前,我们先回忆⼀下以往的⼏种傅⾥叶变换。
1、连续时间周期信号:处理时间连续并且具有周期性的信号,其频域上离散,⾮周期。
2、连续时间⾮周期信号:处理时间连续但是不具有周期性的信号,其频域上连续,⾮周期。
3、离散时间⾮周期信号:处理时间离散,不具有周期性的信号,其频域上连续,有周期性。
4、离散时间周期信号:处理时间离散,具有周期性的信号,其频域上离散,有周期性。
从理论上来说,这四种变换已经囊括了我们能遇到的信号种类了,那么为什么要额外引⼊DFT?从形式上看,DFT与离散时间周期信号的变换⾮常类似,有何原因?
⾸先,我们注意到在数字信号处理⾥⾯,我们接触的都是离散时间的信号,所以前两种连续时间的傅⾥叶变换在我们这⼉⽤不到。另外,数字信号处理的⼀个要点就是讨论对数字信号的处理⽅式和算法设计,这⾥所说的处理⽅式不仅仅是⼈⼯的、解析的处理⽅式,更是机器能⽤的处理⽅式。机器的局限性在哪呢?机器不能表达⼀个⽆限⻓的序列,也不能表达连续的频域特征。对于⼀般的离散时间信号⽽⾔,直接⽤DTFT确实很好,⾮常便于我们分析信号的频域特征,但问题是这⼀套机器是⽤不了的。因此我们才需要DFT,也就是说DTFT是给⼈⽤的,⽽DFT是给机器⽤的。
所谓DFT的引⼊,我认为主要可以分为两点,⼀点是截断,另⼀点是(频域)采样。需要截断,是因为机器⽆法表示⽆限⻓的序列,只能处理有限⻓序列,这⼀点⽐较好理解。关于采样,是理解DFT的重点。我们前⾯提到离散⾮周期序列的傅⾥叶变换(DTFT)在频域上是连续的,这连续的频域特征机器是⽆法表达的,因此我们需要对它进⾏采样。⼜由于频域上具有周期性,只需要对2pi⻓度的区间采样即可。那么应该采多少个点呢?类似于Nyquist采样定理的做法,我们得出采样的点数M≥N即可(N表示该序列的⻓度),为了⽅便起⻅只需取M=N。由此,DFT的两个引⼊动机就清楚了:它是对⽆限⻓序列截断成有限⻓序列,进⾏DTFT以后再在频域
采样。
那么为何DFT的形式和离散时间周期信号的傅⾥叶变换形式类似呢?注意到,有限⻓序列经过周期延拓即可变为周期信号,因此他们之间的相似性也不⾔⽽喻了。不过需要注意的是DFT对有限⻓序列均可以⽤,但离散时间周期信号的傅⾥叶变换只能处理周期信号,这是本质的不同。

百度百科:
DTFT,它将以离散时间信号X(n)变换到连续的频域,此时频谱是周期的,且周期为2pi。
在这里插入图片描述
DFT,是傅⾥叶变换在时域和频域上都呈离散的形式,将信号的时域采样变换为其DTFT的频域采样。

那么DTFT离散时间傅⾥叶变换和DFT离散傅⾥叶变换,两个名词中差的“时间”两个字代表的到底是什么?
这个时间代表的不是有限序列,是⾮周期含义。当对离散⾮周期信号进⾏傅⾥叶变换时称离散时间傅⾥叶变换(可以理解为在时间上也离散的意思,即⾮周期),那么对离散周期信号进⾏傅⾥叶变换称为离散傅⾥叶变换DFT。

CSDN:https://blog.csdn.net/lovehua365/article/details/79110950

连续⾮周期 这种信号傅⾥叶变换简单的叫做傅⾥叶变换FT
连续周期 这种信号傅⾥叶变换叫做傅⾥叶级数FS
离散⾮周期 这种信号傅⾥叶变换叫做离散时间傅⾥叶变换DTFT
离散周期 这种信号傅⾥叶变换叫做离散傅⾥叶变换DFT

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