位运算、递归、二分

位运算

位运算：程序中的所有数在计算机中都是以二进制的形式存储的，位运算是直接对整数在内存中的二进制位进行操作。

1.位与（&）运算

比如6的二进制是110，11的二进制数是1011，那么6&11的结果就是2。运算的时候写成一个竖式的形式，只有同为1的时候才是1，其余都是0。判断是否是奇数还是偶数，就可以用位与运算，当x&1=1的时候说明是奇数，等于0的时候说明是偶数。比如2的二进制数是10，对1进行位与运算，结果为0，2是偶数。又比如3的二进制是11，对1进行位与运算，结果为1，说明3是奇数。处理的速度非常快。

2.位或（|）运算

这个就是只要有一个为1，结果就是1。就是不进位加法运算。如果需要把二进制最末位变成0，就需要对这个数|1之后再减一就行了，实际意义就是把这个数强行变成最接近的偶数。

3.位异或（^）运算

计算方法就是0和1异或0都不变，异或1则取反。两次异或同一个数最后结果不变。

两个交换操作：

a=a+b;

b=a-b;

a=a-b;

或者：

a=a^b;

b=a^b;

a=a^b;

上面两个方法都可以实现交换操作。

4.位取反（~）运算

这个就是把内存中的0和1全部取反，这个用的少点好像。

5.位左移（<<）运算

a<所以a<。

比较常用的就是a<<1操作，代表将原来的数乘以2，比单纯的乘以2操作要快很多。

6.位右移（>>）运算

a>>b表示二进制右移b位，就是去掉末尾b位，相当于a除以2的b次方，这里注意，如果是个小数是要取整的。常用的就是>>1代替除以2，比如二分查找，堆的插入操作等。

递归

搜索模板的套路：

先判断是否达到目标状态。

如果达到，判断当前状态是否合法是否计入答案。

未达到，枚举可能的状态，记录本轮选择，进入下一层。

返回后，消除影响。

简单递归实现斐波那契数列：

#include 
using namespace std;
int arr[101];
int fei(int i)
{
    if (i == 1 || i == 2)
        return 1;
    else
        return fei(i - 1) + fei(i - 2);
}
int main()
{
    arr[1] = 1;
    arr[2] = 1;
    for (int i = 1; i < 30;i++)
    {
        cout << fei(i) << endl;
    }

    return 0;
}

n元环互质实例：

#include 
using namespace std;
bool vis[20];
int ans = 0;
bool isprime(int x) {
    for (int i = 2; i <= sqrt(x); i++) {
        if (x % i == 0)return false;
    }
    return true;
}
int a[100], n=3;
void dfs(int now) {
    if (now == n + 1) {
        if (!isprime(a[1] + a[n]))return;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            if (!isprime(a[i] + a[i - 1]))return;
        }
        ans++; return;
    }
    for (int i = 1; i <= 20; i++) {
        if (!vis[i]) {
            vis[i] = 1; a[now] = i;
            dfs(now + 1);
            vis[i] = 0;
        }
    }
}
int main()
{
    dfs(3);
    cout << ans;
    return 0;
}

二分答案

类似于最大值最小/最小值最大。

最靠近某个值。

最小的能满足条件的代价，通常都可以往二分答案去想。

while (left < right) {
        int mid = (left + right) / 2;
        if (check(mid))right = mid;
        else left = mid + 1;
    }
    answer = left;