数分下（第1讲）：一阶微分方程的三类模型求解

第1.1讲：一阶微分方程的解法

第一周第一讲将用3个小时时间，完整讲解一阶微分方程y’=f(x,y)的三种典型模型求解方法。掌握以下知识点，并熟练做题训练。对应同济高数教材第七章1—4节。知识点脑图如下：

学习要点：

1、“变量可分离”典型模型的形式判断（y’=a(x)b(y)/c(x)d(y)）和两边积分求解方法；要复习掌握积分
2、“齐次方程”典型模型的形式判断和变量替代法求解，包括一种扩展形式
3、“线性方程”典型模型的形式判断和带公式求解。
4、总体感觉：变量分离模型考察的是积分基本功；齐次方程考察的是变量替代转化化归能力，套路；线性微分方程考察的是转化化归，套公式。
5、了解速度加速度力学背景和切线几何背景，对微分方程求解的学习意义有很好的帮助。
6、每个模型做10道题目，熟练模型套路，熟练公式，熟练积分计算。做到常规题目能够一眼看出是哪个模型，然后转化化归为计算套路。

一、微分方程概念

生活中的几何问题和力学问题，往往不是变量之间的简单关系，如勾股定理。而可能是变量变化之间的关系，如速度v=ds/dt、加速度a=ds²/dt²等，表现为一阶导数s’，二阶导数s’‘及变量s、t之间的关系。这种“未知函数及其导数的关系式，称为微分方程。一般地，n阶微分方程形式为F(x,y’,y’’,…,y⁽ⁿ⁾)=0，n称为微分方程的阶。特别的，可以转化写出y⁽ⁿ⁾=f(x,y,y’,…,y^(n-1))形式的，称为显式微分方程。以后教学中讨论的微分方程都是这种已解出或者能够解出最高阶导数的方程，
列出微分方程的过程，是对生活现象进行数学建模的过程；求出微分方程中的未知函数，就是解微分方程。大部分微分方程不一定给出显式的函数形式，本章将针对几种特殊的一阶微分方程给出通解。



可以看出，一般用积分的方法给出通解，用初值条件给出特解。
一阶微分方程是一类基础的微分方程，有两种常见的基本表达形式：
（1）定义式 y’ = f (x , y)
（2）对称式 P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0
第二种对称形式是利用到了 f(x,y) = P(x,y) / Q(x,y)的一般表达。

二、一阶微分方程模型（1）：可分离变量模型

“可分离变量”就是指 一阶微分方程中 y’ = f(x,y) 中的 f(x,y) = g(x) h(y) , 其中的两个变量 x,y是 可以分离的，就可以在等式左右分别积分，从而得到微分方程的通解。在观察这类模型时，要注意函数形式的乘积可分离性质。这是一类最简单的微分方程形式。要抓住“乘积可分离”和“两边同时积分求解”两个要点。

1、基础型：形如 y’ = f(x) g(y) 的可分离模型

2、扩展型：形如 M(x)N(y) dx + P(x)Q(y) dy =0 对称式

三、一阶微分方程模型（2）：齐次方程

对于一阶微分方程的一般形式： y’ = f(x,y)。 如果f(x,y)具有特殊形式，就可以转化为左右分别积分的形式。在观察的过程中，要抓住一些典型特征，从而实现从不易觉察的复杂形式转化为已掌握的典型模型。 如在可分离模型中，f(x,y) = g(x) h(y) 的乘积形式；或者 f(x,y) = g1(x)/g2(x) * h1(y)/h2(y) = g1(x)h1(y) / g2(x)h2(y)的对称乘积形式。在齐次方程模型中，f(x,y)将具备分子分母齐次式的典型形式。牢记典型模型的典型特征，对转化化归求解微分方程至关重要。

1、基础型：形如 y’ = f(x,y) = g(y/x) 的齐次方程

2、扩展型：形如dy/dx = ax+by+c / mx +ny+q 稍复杂形式的变量替代法

这种题型的关键有两点：一是识别模型类型，二是熟练进行套路转化。下面是转化化归的方法套路。

同济教材P313给出了例子。

三、 一阶微分方程模型（3）：一阶线性微分方程

1、基础型：形如y’+P(x) y = Q(x)的线性微分方程

一阶线性微分方程是指 微分方程中y和y’都是一次式，形如 y’ + P(x) y =Q(x)。如果Q(x)=0，即 y’+P(x)y =0 称为齐次线性微分方程，显然此时可以用分离变量法 求解。

在同济教材P315中给出了一阶线性微分方程的求解方法：第一步求解y’+P(x)y=0 齐次方程的通解；第二步采用常数变易法做变换求解出非齐次线性微分方程y’+P(x)=Q(x)的通解。 实际问题中，直接带公式是可以的，但是掌握方法套路更重要。

掌握方法，灵活应用。不要每次都重新推导公式。这一点很重要，否则做题太慢了。记住齐次求解+常数变易两步的二级结论，或者直接带公式，直接应用。


注意微分方程求解的物理背景。这就是学习微分方程的实际意义所在。

2、扩展型：伯努利方程 y’ + P(x) y = Q(x) yⁿ