数学建模-第五章：微分方程方法建模

微分方程简介

应用背景

• 动态过程：对象特征会随时间(空间) 变化而变化
• 可用于动态过程的建模方法有很多
• 了解机理：微分方程、差分方程、随机过程、模糊过程等
• 掌握数据：数据拟合、统计回归等

建立微分/差分方程模型的依据

• 随着时间的变化，事物一些特征的变化情况，与其他特征或其变化情况呈现比例关系，或其他的简单函数关系
• $x(t+\Delta t)-x(t)=kx(t)\ast \Delta t$
• $\Delta t$固化即为差分

微分方程建模的适用范围

• 问题涉及物体的运动、振动、受力形变、物质和能量扩散、传递、生物种群的数量、密度、耐用消费品销量变化等

微分方程建模的分析与求解

• 希望了解事物在一段时间内比较精确的变化情况-微分/差分方程求解/数值解
• 希望了解事物未来的发展趋势、或者无法获得精确解 -微分/差分方程的定性理论

微分方程的定性理论

• 不求解，根据方程本身特点分析解的性态

种群增长模型

阻滞增长模型(Logistic模型)

• 资源、环境等因素对人口增长有阻滞作用
• 且人口越多，阻滞越大
• S形曲线，x增加先块后慢
• 用于经济增长、人口变化、行业发展等问题

考虑年龄结构

脉冲、时滞和不确定性

• 影响具体的微分大小

与时间有关的脉冲因素

• 灾难，战争造成人口骤减；促销、事故导致销量骤变

与状态有关的脉冲因素

• 人工灭杀害虫，商品销量过大导致管控

时间不同步(时滞)因素

• 深空飞行器的控制，旧设备淘汰产生新需求

多因素相互影响

• 多因素影响方程组

不确定因素

微分方程的求解

求解析解

• 高数内容

Matlab求解

• 求通解
• 求特解

常微分方程(组)的数值解算法

• Euler法：用差商代替导数(微商) 如令$t_{k+1}-t_k=h$
  • $y(t_{k+1})\approx y(t_k)+h\ast f(t_k,y(t_k))$
• 向后Euler法
• 改进Euler法
• 龙格库塔方法：考虑多个节点

稳定性方法建模

一阶自治微分方程

• $x^{\prime }(t)=f(x(t))$
• 平衡点：代数方程f(x)=0 的实根，记作$x_0$
• 稳定性：若微分方程的解都满足 $\underset{t\to \infty }{\lim }x(t)=x_0$ 则称$x_0$ 是微分方程的稳定平衡点，否则不稳定
• 若 f(x)=ax+b 则a<0 稳定，a>0不稳定
• 若f(x)为非线性函数，考虑其线性近似 $f(x)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$ 则$f^{\prime }(x_0)<0$稳定，反之不稳定

二阶自治微分方程

• $x^{\prime \prime }(t)=f(x(t),x^{\prime }(t))$
  
  
• 建立微分方程模型后，最好能做一番稳定性分析，体现自身的数学水平

种群模型中的稳定性

两种群竞争模型

食饵捕食者模型

• 假设：没有捕食者，食饵遵循指数增长规律
• 捕食者的捕食量正比于双方数量
• 捕食者有固有死亡率，增长依赖于食饵数量
• $x^{\prime }(t)=rx-axy=x(r-ay)$
• $y^{\prime }(t)=-dy+bxy=y(-d+bx)$
• a是捕食者的掠食能力
• b是食饵的供养能力
• r食饵的自然增长率
• d无食饵时捕食者死亡率

传染病模型1-logistic 模型

• 建模目的：预防传染病感染人数变化，给出合理防控策略
• 传播方式：人与人间的接触

构造模型

• 人口总数N，不计出生死亡和人群迁移
• 人群只分感染和易感
• 易感者占比s(t),感染者占比i(t), s(t)+i(t) =1
• 每个感染者单位时间有效接触λ个人(含s和i) /感染率
• 感染者增量 $Ni(t+\Delta t)-Ni(t)=\lambda Ni(t)\ast s(t)\ast \Delta t$
• 两端同除以$N\Delta t$ 令$\Delta t\to 0$ 取极限
• 阻滞增长模型(logistic 模型) S传染病模型
  
• λ越小可延缓增速，压低曲线
  
  进行差分化，带入数据计算α和β，从而计算N与λ 进行参数估计

传染病模型-SIR传染病模型

• 将人群分为易感者s，感染者i和移出者r s(t)+i(t)+r(t)=1
• 单位时间内比例为μ的感染者转为移出者。μ体现医疗能力

模型改进

• $di(t)/dt=\lambda \ast i(t)s(t)-\mu \ast i(t)$
• $ds(t)/dt=-\lambda \ast i(t)s(t)$
• $dr(t)/dt=\mu \ast i(t)$
• 论证 i
  1. 存在极限
  2. 极限为0

模型应用

• 求不出解析解，带入参数求数值解，预测未来

SIR模型分析

• $di(t)/dt=\lambda \ast i(t)s(t)-\mu \ast i(t)$
• 提出i(t) 则$di(t)/dt=\lambda \ast i(t)(s(t)-\mu /\lambda )$
• s(0)<μ/λ 时，s(t)<=s(0)
• s(0)>μ/λ,di(t)/dt<0先正后负

SIR的现实意义

• 尽量使得s(0)<μ/λ 感染者占比单减趋0
• 对策：减少易感者比例，加强医疗能力μ，降低感染率λ
• 继续改进：存在潜伏期

多种多样的传染病模型

考虑人口的出生和死亡

• 在SIR的基础上假设
• 人口出生率b，死亡率d
• 疾病不在母婴之间传播即新生儿都是s类人群
• $s^{\prime }(t)=b(i(t)+s(t)+r(t))-\lambda \ast i(t)s(t)-ds(t)$
• $i^{\prime }(t)=\lambda \ast i(t)s(t)-\mu \ast i(t)-di(t)$
• $r‘(t)=\mu \ast i(t)-dr(t)$

考虑脉冲效应

• 工作日、节假日周期性出现
• 在SIR的基础上
  1. T作为一个周期长度
  2. τ作为一个周期中的假日长度
  3. 假日接触率λ编程pλ 假日聚集 λ大于1
     
• $di(t)/dt=\lambda \ast i(t)s(t)-\mu \ast i(t)$
• $ds(t)/dt=-\lambda \ast i(t)s(t)$
• $dr(t)/dt=\mu \ast i(t)$

考虑潜伏期

• 在SIR基础上
  1. t时刻人群中潜伏期患者数量为e(t)
  2. 单位时间潜伏期患者发病概率为ε
• $i^{\prime }(t)=\epsilon e(t)-\mu \ast i(t)$
• $s^{\prime }(t)=-\lambda (i(t)+e(t))s(t)$
• $r^{\prime }(t)=\mu \ast i(t)$
• $e^{\prime }(t)=\lambda (i(t)+e(t))s(t)-\epsilon e(t)$

考虑垂直感染

• 在SIR基础上
  1. 生育率b，易感者生育易感婴儿
  2. 感染者生育染病婴儿比例p，易感婴儿比例1-p
  3. 移出者生育免疫婴儿比例q，易感婴儿比例1-q

两种疾病相互影响