【机器学习】Logistic回归

一、Logistic回归概念

Logistic回归（logistic regression）是统计学习中的经典分类方法，属于对数线性模型，所以也被称为对数几率回归。这里要注意，虽然带有回归的字眼，但是该模型是一种分类算法，Logistic回归是一种线性分类器，针对的是线性可分问题。利用logistic回归进行分类的主要思想是：根据现有的数据对分类边界线建立回归公式，以此进行分类。

二、基于Logistic回归和Sigmoid函数的分类

1.Sigmoid函数

函数表达式：

下图给出了Sigmoid函数在不同坐标尺度下的两条曲线图，当x为0时，Sigmoid函数值为0.5。随着x的增大，对应的Sigmoid值将逼近于1；随着x的减小则逼近于0.当横坐标尺度较小时，曲线变化较为平滑，当尺度扩大到一定程度，Sigmoid看起来像一个阶跃函数。

 

 

那么对于Sigmoid函数计算公式，我们可以这样解释：为了实现logistic回归分类器，我们可以在每个特征上都乘以一个回归系数，然后把所有的结果值相加，将这个总和带入sigmoid函数中。进而得到一个范围在0-1之间的数值。最后设定一个阈值，在大于阈值时判定为1，否则判定为0。以上便是逻辑斯谛回归算法是思想，公式就是分类器的函数形式。
 

"""
Sigmoid函数实现
"""
def sigmoid(inX):
	return 1.0 / (1 + np.exp(-inX))

 2.Logistic回归的优缺点

优点：

（1）无需事先假设数据分布

（2）可得到“类别”的近似概率预测（概率值还可用于后续应用）

（3）可直接应用现有数值优化算法（如牛顿法）求取最优解，具有快速、高效的特点

缺点：容易欠拟合，分类精度可能不高。

使用数据类型：数值型和标称型数据

3.Logistic回归的一般过程

1、收集数据：任何方式 
2、准备数据：由于要计算距离，因此要求数据都是数值型的，另外结构化数据格式最佳。 
3、分析数据：采用任一方是对数据进行分析 
4、训练算法：大部分时间将用于训练，训练的目的为了找到最佳的分类回归系数 
5、测试算法：一旦训练步骤完成，分类将会很快 
6、使用算法：首先，我们需要输入一些数据，并将其转化成对应的结构化数值；接着基于训练好的回归系数就可以对这些数值进行简单的回归计算，判定它们属于哪一类别；在这之后，我们就可以在输出的类别上做一些其他的分析工作。

三、基于最优化方法的最佳回归系数确定

1.梯度上升法

要找到某函数的最大值，最好的方法是沿着该函数的梯度方向探寻。如果梯度记为▽，则函数f(x,y)的梯度由下式表示：

这个梯度意味着要沿x的方向移动：

 沿y的方向移动：  

 其中，函数f(x,y)必须要在待计算的点上有定义并且可微。

用向量来表示的话，梯度算法的迭代公式如下：

，其中表示步长。

 2.梯度下降法

按梯度上升的反方向迭代公式即可

梯度上升算法用来求函数的最大值，而梯度下降算法用来求函数的最小值

 

3.极大似然估计

假设：

可以得到似然函数为：

对似然函数取对数可得：

 

 四、Logistic实战之预测糖尿病的发作

1.数据收集

数据收集来源：http://archive.ics.uci.edu/ml/index.php

这里的数据包含了768个样本和8个属性特征。然后通过0，1来判断用户是否会换上糖尿病。

数据的部分内容展示：

2.核心算法

这里通过分类函数把样本数据分成五份，然后采用随机梯度下降法（随机下降与随机上升法核心内容一样）对这五份样本进行训练，并通过sigmoid函数对训练好的样本进行分类。
 

def predict(row, coefficients):
	yhat = coefficients[0]
	for i in range(len(row)-1):
		yhat += coefficients[i + 1] * row[i]
	return 1.0 / (1.0 + exp(-yhat))

def coefficients_sgd(train, l_rate, n_epoch):
	coef = [0.0 for i in range(len(train[0]))]
	for epoch in range(n_epoch):
		for row in train:
			yhat = predict(row, coef)
			error = row[-1] - yhat
			coef[0] = coef[0] + l_rate * error * yhat * (1.0 - yhat)
			for i in range(len(row)-1):
				coef[i + 1] = coef[i + 1] + l_rate * error * yhat * (1.0 - yhat) * row[i]
	return coef

def logistic_regression(train, test, l_rate, n_epoch):
	predictions = list()
	coef = coefficients_sgd(train, l_rate, n_epoch)
	for row in test:
		yhat = predict(row, coef)
		yhat = round(yhat)
		predictions.append(yhat)
	return(predictions)

 3.测试运行

这里把学习率设为0.4，训练次数设置为训练1000次，seed(1)是为了保证五份样本每次执行都能产生同一个随机数，防止结果偏差。 n_folds = 5被用于交叉验证，给每次迭代 768/5 = 条记录来进行评估。

if __name__ == '__main__':
	seed(1)#每一次执行本文件时都能产生同一个随机数
	filename = 'pima-indians-diabetes.csv'
dataset = load_csv(filename)
for i in range(len(dataset[0])):
	str_column_to_float(dataset, i)
minmax = dataset_minmax(dataset)
normalize_dataset(dataset, minmax)
n_folds = 5
l_rate = 0.4
n_epoch = 1000
scores = evaluate_algorithm(dataset, logistic_regression, n_folds, l_rate, n_epoch)
print('五份样本的正确率: %s' % scores)
print('总样本平均正确率: %.3f%%' % (sum(scores)/float(len(scores))))

运行这个样本，为 5 次交叉验证的每一次 输出 一个分数，然后输出这五个分数的平均数。我们可以看到平均正确率为77.988%。

运行结果：