概率统计Python计算：单个正态总体均值双侧假设的卡方检验

对正态总体的方差${\sigma }^2={\sigma }_0^2$进行显著水平$\alpha$下的假设检验，检验统计量$\frac{n-1}{{\sigma }_0^2}{S}^2$~${\chi }^2(n-1)$。其中，$S^2$为样本方差。用p值法的双侧检验计算函数定义如下。

from scipy.stats import chi2	#导入chi2
def chi2test2(X, df, alpha):	#双侧检验函数
    if X>2*df:					#检验统计量值大于卡方分布均值
        p=2*chi2.sf(X, df)
    else:						#检验统计量值不超过卡方分布均值
        p=2*chi2.cdf(X, df)
    return p>=alpha

双侧检验函数chi2test2的参数X，df和alpha的意义分别为检验统计量值$\frac{n-1}{{\sigma }_0^2}{s}^2$，${\chi }^2(n-1)$分布自由度$n-1$和显著水平$\alpha$。第3~6行的if-else语句根据检验统计量值X位于${\chi }^2(n-1)$的均值$n-1$左、右方来计算p值：若X>df（即$n-1$）p置为2*chi2.sf(X, df)（第4行），否则p置为2*chi2.cdf(X, df)（第6行）。
例1 某产品的强度服从正态分布$N(52.8,1.6^2)$。为降低生产成本，决定更换部分原材料。现从新产品中随机抽取容量为9的样本，测得强度（单位：$kgf/m{m}^2$）分别为
$$51.9,53.0,52.7,54.1,53.2,52.3,52.5,51.1,54.7$$
问新产品的强度是否发生了变化？
解： 要回答“新产品的强度是否发生了变化”，需要考察新产品的强度均值$\mu$是否依然为$52.8$，及强度方差${\sigma }^2$是依然否为$1.6^2$。先检验假设
$$H_0:{\sigma }^2=1.6^2,H_1:{\sigma }^2\ne 1.6^2.$$
若检验结果接受对${\sigma }^2=1.6^2$的假设，则可以用Z检验法检验假设
$$H_0:\mu =52.8,H_1:\mu \ne 52.8$$
否则用T检验法检验上述总体均值的双侧假设$H_0$。下列代码完成本例计算。

import numpy as np                          #导入numpy
x=np.array([51.9, 53.0, 52.7, 54.1, 53.2,   #样本数据
            52.3, 52.5, 51.1, 54.7])
xmean=x.mean()                              #样本均值
n=x.size                                    #样本容量
s2=x.var(ddof=1)                            #样本方差
sigma0=1.6                                  #总体均方差假设值
mu0=52.8                                    #总体均值假设值
alpha=0.1                                   #显著水平
X=(n-1)*s2/sigma0**2                        #总体方差检验统计量值
accepts2=chi2test(X, n-1)                   #总体方差双侧检验
print('sigma^2=%.1f^2 is %s.'%(sigma0, accepts2))
if accepts2:								#总体均值双侧Z检验
	Z=(xmean-mu0)/(np.sqrt(s2/n))
	acceptmu=ztest2(Z, alpha)
else:       								#总体均值双侧T检验
	T=(xmean-mu0)/(sigma0/np.sqrt(n))
	acceptmu=ttest2(T, alpha)
print('mu=%.1f is %s'%(mu0, acceptmu))

程序中第2~9行按题面设置各项数据。第10行计算关于假设$H_0:{\sigma }^2=1.6^2$的检验统计量$\frac{n-1}{{\sigma }_0^2}{s}^2$为X，第11行调用函数chi2test2检验该假设$H_0$。第13~18行的if-else语句根据对假设$H_0:{\sigma }^2=1.6^2$的检验结果accepts2的值，计算假设$H_0:\mu =52.8$的双侧检验：若accepts2为True（${\sigma }^2=1.6^2$），则调用ztest2函数检验假设$H_0:\mu =52.8$（第14~15行）。否则，调用ttest2函数对$H_0:\mu =52.8$做检验（第17~18行）。运行程序，输出

sigma^2=1.60^2 is True.
mu=52.8 is True.

表示既接受假设$H_0:{\sigma }^2=1.6^2$，又接受假设$H_0:\mu =52.8$。即新产品的强度没有发生变化。
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