常见的数学物理方程

• 叠加原理
  • 线性方程的解可以分解为几个部分的线性叠加
• 定解问题
  • n阶常微分方程的通解含有n个任意常数
  • 需要附加n个条件才能完全确定这些常数
• 初始条件
  • 意义
    • 反应系统的特定历史
  • 分类
    • 初始状态
    • 初始变化
• 边界条件
  • 意义
    • 反应特定环境对系统的影响
  • 分类
    • 按条件中未知函数及其导数的次数分类
      • 线性边界条件
        • 按给出的函数值或者导数值分类
          • 第一类边界条件
          • 第二类边界条件
          • 第三类边界条件
        • 按所给数值是否为零分
          • 齐次边界条件
          • 非齐次边界条件
        • 举例
          • 一维弦振动方程
            • 固定端
            • 受力端
          • 一维杆振动
            • 固定端
            • 自由端
            • 受力端
          • 一维热传导
            • 恒温端
            • 绝热端
            • 吸热端
      • 非线性边界条件
      • 自然边界条件
        • 周期性
        • 有界性
• 定解问题
  • 定解问题的组成
    • 泛定方程
      • 反映同一类现象的普遍性
      • 演化方程
        • 波动方程
        • 输运方程
      • 稳定方程
        • 拉普拉斯方程
        • 泊松方程
    • 定解条件
      • 描述具体对象的特殊性
  • 定解问题的分类
    • 初值问题
      • 无边界条件
    • 边值问题
      • 无初始条件
        • 第一边值问题
        • 第二边值问题
        • 第三边值问题
    • 混合问题
  • 定解问题的适定性
    • 适定性的意义
      • 定解问题是实际问题的数学模型，适定性是对模型能否反映实际问题的一般要求
    • 适定性的内容
      • 存在性
      • 唯一性
      • 稳定性
    • 不适定问题举例
      • 一般来说，方程的阶数对应于定解条件的个数
      • 过多的条件会破坏解的存在性
      • 过少的条件会破坏解的唯一性
• 达朗贝尔公式
  • 定解问题的求解思路
  • 泛定方程的求解
    • 常微分方程
    • 偏微分方程
    • 二阶方程
  • 达朗贝尔公式的推导
  • 达朗贝尔公式的应用

• 二阶常微分方程
  • 常用齐次定解问题
    • 问题要素
      • 泛定方程
        • 演化方程
        • 稳定方程
      • 边界形状
        • 矩形
        • 圆形
        • 球形
      • 初始条件
    • 拉普拉斯算符的形式  
  • 数学物理中的对称性
    • 对称性
      • 对称性就是在某种变换下的不变性
      • 对称性原理
        • 当定解问题的泛定方程和定解条件都具有某种对称性时，它的解也有同样的对称性
      • 对称性分类
        • 时空对称性
          • 时间
            • 时间平移对称性
            • 时间反演对称性
          • 空间
            • 空间平移对称性
            • 空间反演对称性
            • 空间转动对称性
        • 动力学对称性
  • 特殊函数常微分方程
    • 球坐标下拉普拉斯方程的分离变量
      • 一般情况
        • 欧拉方程
        • 球函数方程
        • 连带勒让德方程
      • 轴对称情况
        • 勒让德方程
    • 极坐标下热传导方程的分离变量
      • 一般情况
        • 亥姆霍兹方程
        • 贝塞尔方程
      • 轴对称情况
  • 常微分方程的级数解法
    • 常微分方程中点的分类
      • 二阶变系数常微分方程的一般形式
      • 方程中点的分类
        • 常点
        • 正则奇点
        • 非正则奇点
      • 各点领域级数解的形式
        • 常点领域
        • 正则奇点领域
        • 非正则奇点领域
      • 勒让德方程的级数解
      • 贝塞尔方程的级数解
  • 斯图姆-刘维尔本征值问题
    • 本征值问题
      • 本征值
        • 使带边界条件的常微分方程有非零解的参数值
      • 本征函数
        • 相应的非零解
      • 本征值问题
        • 求本征值和本征函数的问题
    • 斯图姆-刘维尔本征值问题
      • 斯图姆-刘维尔本征值方程
      • 斯图姆-刘维尔本征值边界条件
    • 斯图姆-刘维尔本征值问题的性质
      • 可数性：存在可数无限多个本征值
      • 非负性：所有本征值均为非负值
      • 正交性:对应不同本征值的本征函数代权正交
      • 完备性：满足边界条件的光滑函数可以按本征函数展开
• 球函数
  • 轴对称问题和勒让德多项式
    • 轴对称拉普拉斯方程的求解
    • 勒让德多项式
    • 勒让德多项式的母函数和递推公式
    • 勒让德多项式的性质
    • 勒让德多项式的应用
• 柱函数
  • 柱函数的基本性质
  • 贝塞尔方程本征值问题
  • 转动对称柱面问题
  • 一般柱面问题
• 格林函数法
  • 格林函数的一般概念
    • 定义：纯点源产生的场
  • 稳定问题的基本解
  • 稳定问题的格林函数
  • 演化问题的基本解
  • 演化问题的格林函数