【工程数学】笔记2:数学物理方程

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数学物理方程的意义

三类经典数学物理方程

线性偏微分方程解法

参考书籍

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接着昨天的【工程数学】笔记1:复变函数和积分变换_苹果二的博客-CSDN博客，继续写数学物理方程（Equations of Mathematical Physics）。总结数学物理方程的意义，三类经典数学物理方程和线性偏微分方程解法。

 

图片来源：Where math meets physics | Penn Today

数学物理方程的意义

为了完全描述一个具有确定解的物理问题，数学上需要构成一个定解问题。偏微分方程是描述在变化中有守恒之物理世界诸多机制的重要手段。偏微分方程加上相应的定解条件（边界条件和初始条件）就构成定解问题。热学、力学、电磁学等许多物理问题都可以归结为数学上的偏微分方程定解问题。如何求解这些定解问题，可以采用数学物理方程。数学物理方程是指在物理学、力学、工程技术等问题中经过一些简化后所得到的、反映客观世界物理量之间关系的一些偏微分方程（有时也包括积分方程和某些常微分方程）。

熟练掌握数学物理方程，会帮助我们达到以下目标：

1. 明确物理问题抽象为数学定解问题的一般过程；

2. 熟悉偏微分方程的叠加原理及三大方程的特点；

3. 掌握定解问题的构成及其适定性（存在性、唯一性和稳定性）。

三类经典数学物理方程

下表比较了三类典型方程在物理场景、方程类型和数学表示角度的不同。

物理场景	方程类型	数学表示	例子
波动过程	波动方程	双曲线	弦的横振动方程、杆的纵振动方程
扩散过程	热传导方程	抛物型	均匀各向同性介质中的热传导方程
稳定状态	泊松方程、拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程	椭圆型	物体温度稳定时的温度分布和静电场的电势

典型的二阶线性偏微分方程包括弦的横振动方程、杆的纵振动方程和热传导方程。虽然杆的纵振动和弦的横振动机理并不完全相同，但是其满足的偏微分方程的形式完全一样，如下所示。

 

热传导方程基于热学的两个规律，即能量守恒定律和热传导的傅立叶定律。从分子热运动机理的角度，我们可以判断扩散方程和热传导方式有着相同的形式。

初始条件应该完全表示初始时刻（通常取为t＝0）介质内部及边界上任意一点的状况。边界条件应该完全表示边界上各点在任一时刻的状况。从物理意义上看，只要对物理问题进行了合理的抽象，初始条件和边界条件满足以上要求，这样构成的定解问题就一定是适定的。

线性偏微分方程解法

求解线性偏微分方程定解问题的主要方法是分离变量法。即先求出满足方程及一部分定解问题的全部特解，然后将全部特解叠加起来，再利用另一部分定解条件定出叠加系数，从而求出该定解问题的解．

积分变换方法适用于时间空间变量和无界有界空间，其思想是减少方程的自变量数目。拉氏变换可用于求解含时间的偏微分方程定解问题，可将问题转换为相比简单的常微分方程的定解问题，例如求解无界杆的热传导问题、无界弦的波动问题以及一端绝热杆中温度的分布和变化问题。针对空间变量的傅立叶变换可以求解以上问题及无界弦的自由振动问题。选择合适的积分变换方法，需要根据方程和定解条件的类型以及反演时涉及的积分复杂度。积分变换方法还可以求解非线性偏微分方程。

当本征值过渡到连续谱时，分类变量法就变为相应的积分变换方法。对有界空间来说，积分变换和分类变量法类似，采用分类变量法即可。

在原子和分子光谱的计算中被广泛应用的变分法，可以将不同的物理问题用相同的泛函语言表达出来，同时又能完成近似计算，简化计算。

此外还有理论物理研究中常用的格林函数方法，可以将不规则的边界形状化为规则的边界形状的保角变换。保角变换可以解决有限大小尺寸的平行板电容器的边缘效应问题、空气动力学中的机翼问题和某些流体力学问题。

参考书籍

吴崇试. 数学物理方法(第2版) (普通高等教育十五国家级规划教材，北京大学物理学丛书) 北京大学出版社. 2005年

希望这篇笔记能帮助大家理解用数学偏微分方程解决物理问题的一般方法，同时深入体会将物理问题抽象为物理模型，进而建立数学模型这一过程。