动态规划入门

”动态规划“这个名字不好理解，初次听到也没什么概念，后来接触的时候发现和算法也没什么关系。据说是数学领域内迁移到cs领域的，算法大意是：结果是通过决策一步步积累出来的。

解决的问题

最优化问题：最值，方案数。

算法

本质：递推。

算法本身可以理解为对递归的优化，十分类似记忆化搜索，基本是一个思路不同的实现方式。

参考文章中这句话——核心思想均为： 利用对于相同参数答案相同的特性，对于相同的参数（循环式的dp体现为数组下标），记录其答案，免去重复计算，从而起到优化时间复杂度的作用。这，便是二者的精髓。

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理解算法：（参考：参考文章）

换句话说我们需要一个决策，但这个决策太大了，我们做不了，所以需要把他递归到我们可以简单做出决策的状态，然后从这些状态开始，慢慢的“动态地”演进到最终的决策。

比如说用最少的硬币换零钱，突然和你说要换78分钱，你怎么就能迅速给出答案呢，你不能。但是如果是1分的话，你就可以，2分的话呢，就是在1分的基础上再加1分，你也可以。于是你就慢慢地从1分开始一直算到78就有答案了。从另一个角度说，如果你用DP算出了怎么换78分，那如果我问你76分怎么换，你也应该有答案了。

所以在DP的实践中很重要的就是递推关系和边界条件。所谓边界条件就是最简单的情况，所谓递推关系就是如果你已经知道这么多，再多给你一个，你怎么得到。

说一个最最最简单的例子，找出一个数组中的最大值。这个问题边界条件是什么呢，就是如果只有一个元素，那最大值就是他；递推关系是什么，就是你已经知道当下最大的数，再多给你一个数你怎么办。你会拿这个数和当下最大的数去比，其中较大的那个就是新的最大的数。这就是典型dp的思想。所以不要把DP看的过于高深就好了。

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算法本身不难，难的是如何使用dp，基本只能通过解决常见类型问题积累经验。

需要了解的一些概念（下面了解即可，都是一些名词概念，解题的时候不可能单独去想这些名词型的东西）

两个要求：

• 最优子结构：大问题的最优解可以由小问题的最优解推出

• 无后效性：未来与过去无关。小问题的求解过程过程不影响大问题的解

两个元素：

• 状态：事物的发展过程表现出的所有形态（这里指通过小问题推导到最终问题解的过程中所有的子问题的解）。可以理解为一个子问题，求解的过程进行到了哪一步（哪一个子问题）。

• 转移：从小问题推导到出大问题的解的这个过程。

判断是否可dp：

1. 根据 无后效性 分析：如果对于某个状态，可以只关心值，而不需要关心如何求解的（转移的），也可以根据数据范围来辨别，一维106左右，二维103

2. 状态定义全靠经验

3. 状态转移方程就是对最后一步的分情况讨论。而方程就是表述的状态定义，所以如果猜出一个状态定义，但发现列不出覆盖所有情况（不漏）的方程这就是状态定义错了。

4. 状态转移方程确保不漏 或 不重不漏

• 如果是求最值的话，我们只需要确保「不漏」即可，因为重复不影响结果。

• 如果是求方案数的话，我们需要确保「不重不漏」。

5. 复杂度：状态数量 * 计算次数

例题： 最长上升子序列

最优子结构：

为了计算第i个位置的最长上升子序列长度，对于所有小于i的位置j，可以计算出第j个位置的最长上升子序列长度，如果j < i则以j位置的LIS加上i构成第i个位置的LIS

无后效性：

只关心第i个位置结尾的LIS长度，不关心具体序列（长什么样子）

状态：

f[i]，表示第i个位置结尾的LIS的长度。

转移：

对于一个位置 i，为了计算f[i]，枚举子序列中上一个元素的位置 j 满足j < i且 a[j] < a[i]，有f[i] = max(f[i], f[j] + 1)。满足不漏

目标状态：max(f[1~n])

dp解题步骤：

一切都以状态表示为基础，无论是状态计算还是确定初始状态，都要在状态定义的基础上定义
集合划分： 80%dp划分依据：最后一步来划分

1. 状态表示：（根据题意确定是几维的状态）

• 再确定下标以及值的含义（<=> 集合和属性的含义）

2. 状态计算：根据状态表示的含义分析递推公式（<=> 划分集合写出子集对应的递推方程）

3. （边界）起始状态：

4. 目标状态：

5. 状态初始化：

6. 确定遍历顺序：

7. 举例推导dp数组：

dp调试

• 举例推导状态转移

• 打印dp数组

• 是否和推导一致？