关于积性函数

概念

若函数满足 $f(n)=f(a)\cdot f(b)$ ，其中 $a,b$ 互质，则称函数 $f$ 为积性函数。

如果 $a,b$ 不互质还满足 $f(n)=f(a)\cdot f(b)$ ，则称函数 $f$ 为完全积性函数。

性质

积性函数的狄利克雷卷积（有关狄利克雷卷积的介绍可以看看我的另一篇博客）都是积性函数。

两个积性函数的乘积仍是积性函数。

积性函数可以用线性筛来求，对于积性函数 $f(n)$ ，因为 $n$ 可以质因数分解为 $p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$ ，所以 $f(n)=f(p_1^{a_1})\cdot f(p_2^{a_2})\cdots f(p_k^{a_k})$。

常见的积性函数

• 常数函数 $I(n)$ ，其中 $I(n)=1$ 。
• 恒等函数 $Id(n)$ ，其中 $Id(n)=n$ 。
• 幂函数 $I{d}_k(n)$ ，其中 $Id(n)=n^k$ 。
• 约数和函数 $\sigma (n)$ ，其中 $\sigma (n)={\sum }_{d|n}d$ 。
• 约数个数函数 ${\sigma }_0(n)$ ，其中 ${\sigma }_0(n)={\sum }_{d|n}{d}^0$ 。
• 欧拉函数 $\varphi (n)$ ，其中 $\varphi (n)={\sum }_{d\le n}[(a,n)=1]$ 。
• 莫比乌斯函数 $\mu (n)$ ，有关莫比乌斯函数的介绍可以看我的另一篇博客。

其中 $I(n),Id(n),I{d}_k(n)$ 为完全积性函数。