数论函数、积性函数、和函数

一、数论函数

定义：数论函数指一类函数的称谓，这类函数的共同点是：定义域是正整数N*，值域是一个数集。
加法：逐项相加即可
数乘：用一个常数 x 乘f ( n ) = x ∗ f ( n )

例如：
，表示正整数n的正因子之和。

，表示正整数n的正因子个数。

二、积性函数

（一）、积性函数定义：如果一个数论函数 f（）满足：当gcd(n,m)==1时，f ( n ∗ m ) = f ( n ) ∗ f ( m ) ，则 f（）为积性函数。

（二）、完全积性函数定义：当gcd(n,m) ≠ 1 时，也有f ( n ∗ m ) = f ( n ) ∗ f ( m )  时，f（）为完全积性函数。

（三）、常见的积性函数：

1、单位函数：id( n )=n

2、不变函数：1(n)=1

3、幂函数：idk(n)=n^k

这三种函数应该比较好理解，只不过是与传统数学上的表达形式不一样。比如这个不变函数1(n)=1；那还可以有2(n)=2……

4、因子个数函数 τ 定义为正整数 n 的所有正因子的个数，记为 τ(n)

    或    

 

5、因子和函数 σ 定义为整数 n 的所有正因子之和，记为 σ(n)

6、欧拉函数 φ(n)：

7、莫比乌斯函数μ(n)：

三、和函数

1、约数和函数

对于一个已知函数 f(n)，如果存在函数F(n)满足

称F(n)为函数f(n)的约数和函数

2、倍数和函数