狄利克雷卷积

概念

设两个数论函数 $f(n),g(n)$ ，则他们的狄利克雷卷积也是一个数论函数，我们设 $f(n),g(n)$ 的狄利克雷卷积的函数为 $h(n)$ ，狄利克雷卷积的定义为：

$$h(n)=\sum _{d|n}f(d)\cdot g(\frac{n}{d})$$

记为 $h=f\ast g$ 。

狄利克雷卷积也满足交换律和结合律。

常见的狄利克雷卷积

$$\begin{array}{rlr}& \mu \ast I=\epsilon & （\mu 和I是互逆函数）\\ & \mu \ast Id=\varphi & \\ & I\ast Id=\sigma & \end{array}$$

其中的函数解释：

• $\epsilon$ 是单位函数， $\epsilon (n)=[n=1]$ ， $\epsilon$ 满足 $f=f\ast \epsilon$ ，即任何一个函数卷上 $\epsilon$ 都等于原函数。
• $I$ 是常数函数， $I(n)=1$ 。
• $Id$ 是恒等函数， $Id(n)=n$
• $\mu$ 是莫比乌斯函数，有关莫比乌斯函数的定义可以看看我的另一篇博客。
• $\varphi$ 是欧拉函数， $\varphi (n)={\sum }_{d\le n}[gcd(d,n)=1]$ ，欧拉函数就是小于 $n$ 的与它互质的数的个数。
• $\sigma$ 是约数函数， $\sigma (n)={\sum }_{d|n}d$ ，约数函数就是 $n$ 的约数和。

其实还是比较好理解的，我们来证明一下。

---

对于 $\mu \ast I=\epsilon$ 。

$$\begin{array}{rl}\mu \ast I& =\sum _{d|n}\mu (d)\cdot I(\frac{n}{d})\\ & =\sum _{d|n}\mu (d)\end{array}$$

由于莫比乌斯函数的性质（可以看看我的另一篇博客），我们可以知道只有当 $n=1$ 时，${\sum }_{d|n}\mu (d)$ 的值才为 $1$ ，也就跟 $\epsilon$ 一样了。

---

对于 $\mu \ast Id=\varphi$ 。

$$\begin{array}{rl}\mu \ast Id& =\sum _{d|n}\mu (d)\cdot Id(\frac{n}{d})\\ & =\sum _{d|n}\mu (d)\cdot \frac{n}{d}\end{array}$$

于是我们可以把它看做容斥。
当 $d=1$ 时， 也就相当于加了一个 $n$ 。
当 $d$ 是一个质数时，也就相当于减去所有质因数的倍数的个数，其中会多减。
当 $d$ 是两个不相等的质数的乘积时，也就相当于减去两两质因数相乘的倍数的个数，其中又会多加。
最后，我们可以发现 ${\sum }_{d|n}\mu (d)\cdot \frac{n}{d}=\varphi (n)$ 。

---

对于 $I\ast Id=\sigma$ 。

$$\begin{array}{rl}I\ast Id& =\sum _{d|n}I(d)\cdot Id(\frac{n}{d})\\ & =\sum _{d|n}\frac{n}{d}\\ & =\sum _{d|n}d\\ & =\sigma (n)\end{array}$$