北大硕士LeetCode算法专题课---算法复杂度介绍
算法复杂度中大O的含义
推荐教程：北大硕士带你手撕Leetcode算法题
大O复杂度表示法
算法面试中， 经常会被问到，你写的算法复杂度是多少， 或者设计一个复杂度为 O(nlogn) 的算法复杂度分析是估算算法执行效率的方法，公式O(f(n))表示算法的复杂度，此方法即为大O复杂度表示法O(f(n))中n表示数据规模，f(n)表示运行算法所需要执行的指令数。
下面的代码非常简单,求 1,2,3…n 的累加和，我们来估算它的执行效率
假设每行代码执行的时间都一样为t：
•执行第2行代码需要时间t，第3,4行代码运行了n遍，需要的时间为2n*t
•这段代码总执行时间为（2n+1）* t
结论：代码执行的总时间T(n)与每行代码的执行次数成正比
看下面的代码，估算该段代码的执行时间
同样假设每行代码执行的时间都一样为t：
•执行第2行代码需要时间t
•第3行代码运行了n遍，需要时间为n*t
•第4、5行代码运行了n2次，需要时间为2n2 * t
•执行所有代码的总时间为 （2n2 + n + 1）* t
结论：代码执行的总时间T(n)与每行代码的执行次数成正比
用O(f(n))来表示算法复杂度
T(n) = O(f(n)) , O表示代码的执行时间T(n) 与 f(n)表达式成比例。
大O复杂度表示法：上面例子中的T(n) = O(2n+1), 另一个 T(n) = O(2n2 + n + 1)。
大O时间复杂度并不表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，也叫作渐进时间复杂度
（asymptotic time complexity），简称时间复杂度
当数据量特别大， 也就是n的取值很大的时候，大O表示法中低阶、常量、系数三部分并不会左右增长趋势，可以忽略
上面例子中的T(n) = O(2n+1), 另一个 T(n) = O(2n2 + n + 1)
用大O表示法表示上面两段代码的时间复杂度，可以记为O(n)，O(n2)
数据规模
通过下面的例子，我们来体会一下数据规模对程序运行时间的影响
通过刚才的例子我们可以得出如下结论，如果想在1s之内解决问题
O(n2) 的算法可以处理大约104级别的数据
O(n) 的算法可以处理大约108 级别的数据
O(nlogn)的算法可以处理大约107级别的数据
有的时候，自己写的算法认为是O(nlogn), 但是在线判题系统提示超时，可以先估计一下，前面提到标准降低一个数量级
O(n2) 的算法可以处理大约103级别的数据
O(n) 的算法可以处理大约107 级别的数据
O(nlogn)的算法可以处理大约106级别的数据
自己写代码实验，数据每增加一个数量级看看耗时的变化
空间复杂度
解决问题时，多创建了一个数组：O(n)
解决问题时，多创建了一个二维数组：O(n2)
解决问题时，用到了几个临时的变量：O(1)
时间复杂度分析
如何分析一段代码的时间复杂度？
1.在分析一个算法、一段代码的时间复杂度时，只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了
上面的代码中，我们只需要关注内层for循环的时间复杂度就可以了
内层for循环的两行代码被执行了n2次，所以总的时间复杂度就是O(n2)
2.总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
上面的代码分为两部分，分别是求 sum_、sum_1
计算sum_部分的代码段时间复杂度O(n)，计算sum_1部分的代码段时间复杂度为O(n2)
总的时间复杂度由复杂度最大的部分决定, 所以上面代码复杂度为O(n2)
3.嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积
上面的代码中第二个函数调用了第一个函数, 如果把fn函数调用当作一个普通操作, 那么第二个函数的时间复杂度为O(n)
Fn函数的时间复杂度为O(n)，那么函数整体的时间复杂度为O(n*n) = O(n2)
4. 当两段代码的数据规模不同时，不能省略复杂度低的部分
上面的代码分为两部分，分别是求 sum_、sum_1
计算sum_部分的代码段时间复杂度O(n)，计算sum_1部分的代码段时间复杂度为O(m2)
总的时间复杂度由复杂度最大的部分决定, 所以上面代码复杂度为O(m2+n)
需要注意的地方：
看见双重for循环，算法的复杂度一定是O(n2)么？
关于O(logn)
上面代码的时间复杂度 O(logn)
n 经过几次“÷10”=0 → log10n = O（logn)
关于O(logn)
logaN logbN 之间是什么关系？
logaN = logab * logbN
上面式子当中，logab 为常数，可以忽略
下面代码的复杂度：O(n2)
简单复杂度分析:
① 关注循环执行次数最多的那一段代码
② 总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
③ 嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积
④ 当两段代码的数据规模不同时，不能省略复杂度低的部分
⑤ 复杂度中对数的部分通常忽略底数
递归算法复杂度分析
在递归中只做了一次递归调用时间复杂度：O(logn)
在递归中只做了一次递归调用
递归深度为D
在每个递归函数中， 时间复杂度为T
总体时间复杂度为O(T*D)
最好、最坏、平均时间复杂度分析
算法复杂度在有些情况下是用例相关的
插入排序算法O(n2) 最好情况：O(n)
快速排序算法O(nlogn) 最差情况：O(n2)
算法面试复杂度分析一般指的就是平均情况
均摊复杂度分析
某些复杂耗时操作是为了辅助其它操作，可以将这个复杂操作的时间平摊到其它操作中
每一次添加耗时O（1）， 初始长度填满之后，再添加1个元素，此时需要开辟一块长度为2n的新的空间，并将之前的N个元素复制过来，这一步的操作复杂度为n，平均来看 O（2）
均摊复杂度：就是把过程复杂操作所耗费时间分担到简单操作上
对一个数据结构进行一组连续操作，大部分情况下时间复杂度都很低，只有个别情况下时间复杂度比较高，而且这些操作之间存在前后连贯的时序关系，这个时候，适合运用均摊复杂度分析代码