使用Matlab作矩阵指数函数e^At和矩阵A
参考链接：
https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/expm.html?searchHighlight=expm&s_tid=doc_srchtitle
已知矩阵A求F(t)=e^At状态转移矩阵
方法一：
使用到的函数为expm 矩阵指数
语法
Y = expm(X)
说明
Y = expm (X) 计算 X 的矩阵指数。（即矩阵指数部分）
虽然不按此种方式计算，但是如果 X 包含一组完整的特征向量 P 和对应特征值 D
则 [P,D] = eig(X)
且（当矩阵A特征值互异的情形）expm (X) = P*diag(exp(diag(D)))*(P^(-1))
附：eig特征值和特征向量
矩阵A的相似变换
[P,D] = eig(A) 返回特征值的对角矩阵 D 和可逆矩阵P，其列是对应的右特征向量，使得 A*P = P*D。
矩阵A的对角化，可逆矩阵P和对角矩阵D。
(P^(-1))*A*P=D
A*P = P*D
示例
求矩阵A=
-2 0 0
0 -3 1
0 0 -3
的矩阵指数函数e^At
输入命令行
a=[-2 0 0;0 -3 1;0 0 -3]; %定义矩阵a
>> syms t; %定义变量t
>> expm(a*t) %利用expm函数计算转移矩阵
得到结果：
ans =
[ exp(-2*t), 0, 0]
[ 0, exp(-3*t), t*exp(-3*t)]
[ 0, 0, exp(-3*t)]
方法二：
通过拉氏反变换来求e^At
输入命令行：
a=[-2 0 0;0 -3 1;0 0 -3]; %定义矩阵a
>> syms s t; %定义vi按量s,t
>> G=inv(s*eye(size(a))-a); %(sI-a)的逆
>> ilaplace(G) %拉氏反变换
ans =
[ exp(-2*t), 0, 0]
[ 0, exp(-3*t), t*exp(-3*t)]
[ 0, 0, exp(-3*t)]
附：
inv逆矩阵的求取
Y = inv(X) 计算方阵X的逆矩阵。
X^(-1) 等效于inv(X)。
size数组的大小
sz = size(A) 返回一个行向量，其元素包含 A 的相应维度的长度。例如，如果 A 是一个 3×4 矩阵，则 size(A) 返回向量 [3 4]。
eye单位矩阵
I = eye(n,m) 返回一个主对角线元素为 1 且其他位置元素为 0 的 n×m 矩阵。
ilaplace拉氏反变换
已知F(t)=e^At状态转移矩阵求A矩阵
F(t)=e^At
F’(t)=At*(e^At) 这是矩阵对标量的求导
令t=0, F’(0)=A
示例
已知矩阵F(t)=[ 1 (1/2)*(1-exp(-2*t)) ; 0 exp(-2*t) ]
(一个2x2矩阵)
求A矩阵
在Matla输入命令行：
syms t;
>> a=[1 (1/2)*(1-exp(-2*t));0 exp(-2*t)];
>> da=diff(a)
得到结果：
da =
[ 0, exp(-2*t)]
[ 0, -2*exp(-2*t)]
附：
diff
差分和近似导数
Y = diff(X)
参考文档：
https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/diff.html?searchHighlight=diff&s_tid=doc_srchtitle
x‘=Ax+Bu
y=Cx+Du
求下列状态空间表达式的解
A=[0 1;0 0],B=[0 ; 1],C=[1 0];D=0;
x'=[0 1;0 0]x+[0 ; 1]u
y=[1 0]x
初始状态x(0)=[1 ; 1]，输入u(t)是单位阶跃响应
输入命令行
A=[0 1;0 0];B=[0;1];
C=[1 0];D=0; %定义系统矩阵
G=ss(A,B,C,D); %建立状态空间描述的系统模型
x0=[1;1]; %初始状态
syms s t; %定义变量
G0=inv(s*eye(size(A))-A); %(sI-a)的逆
x1=ilaplace(G0)*x0; %零输入响应x1
G1=inv(s*eye(size(A))-A)*B;
x2=ilaplace(G1/s) %1/s为积分
x=x1+x2;
y=C*x;
得出结果：
x1 =
t + 1
1
x2 =
t^2/2
t
x =
t^2/2 + t + 1
t + 1
y =
t^2/2 + t + 1