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几何角度理解线性代数（2）: 逆矩阵、列空间与零空间

文章目录

  • 概述
  • 逆矩阵
    • 行列式不为0时
    • 行列式为0时
  • Rank 秩
  • 列空间
    • 满秩
    • 零向量一定在列空间中
  • 零空间
  • 非方阵情况
    • 二维到三维
    • 三维到二维
    • 二维到一维

视频链接
https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E?p=8&spm_id_from=pageDriver&vd_source=f8ee4d4e31e4049864a5ba319b83aea7

  • 矩阵是操纵空间的神器；
  • 秩的定义是列空间的维数，所谓的“满秩”指的是秩与列数相等。

概述

几何角度理解线性代数（2）: 逆矩阵、列空间与零空间_第1张图片

逆矩阵

首先看线性方程组的表示：
几何角度理解线性代数（2）: 逆矩阵、列空间与零空间_第2张图片
对于线性方程组的几何直觉，我们可以将其视作对 x ⃗ \vec{x} x 寻找一种变换方式，使得其在变换之后变成 v ⃗ \vec{v} v ，示意图如下：几何角度理解线性代数（2）: 逆矩阵、列空间与零空间_第3张图片

那么如何来找到这种变化，我们通过判断行列式是是否为0，这两种情况分别进行讨论。

行列式不为0时

首先看更为通用的行列式不为0的情况，我们可以取到 x ⃗ \vec{x} x 经过 A A A变换后得到唯一的 v ⃗ \vec{v} v ，换句话说，我们也可以通过追踪 v ⃗ \vec{v} v 的逆向变换来得到 x ⃗ \vec{x} x ，这里我们引入矩阵的逆：
几何角度理解线性代数（2）: 逆矩阵、列空间与零空间_第4张图片

几何角度理解线性代数（2）: 逆矩阵、列空间与零空间_第5张图片
几何角度理解线性代数（2）: 逆矩阵、列空间与零空间_第6张图片
几何角度理解线性代数（2）: 逆矩阵、列空间与零空间_第7张图片

行列式为0时

几何角度理解线性代数（2）: 逆矩阵、列空间与零空间_第8张图片
然而，
几何角度理解线性代数（2）: 逆矩阵、列空间与零空间_第9张图片

几何角度理解线性代数（2）: 逆矩阵、列空间与零空间_第10张图片

Rank 秩

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列空间

几何角度理解线性代数（2）: 逆矩阵、列空间与零空间_第12张图片

几何角度理解线性代数（2）: 逆矩阵、列空间与零空间_第13张图片
在这里插入图片描述

满秩

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满秩情况下的零向量：
几何角度理解线性代数（2）: 逆矩阵、列空间与零空间_第15张图片

零向量一定在列空间中

几何角度理解线性代数（2）: 逆矩阵、列空间与零空间_第16张图片

在非满秩情况下，会有一系列向量变换为零向量。

零空间

在这里插入图片描述
几何角度理解线性代数（2）: 逆矩阵、列空间与零空间_第17张图片
几何角度理解线性代数（2）: 逆矩阵、列空间与零空间_第18张图片

几何角度理解线性代数（2）: 逆矩阵、列空间与零空间_第19张图片

非方阵情况

二维到三维

几何角度理解线性代数（2）: 逆矩阵、列空间与零空间_第20张图片
几何角度理解线性代数（2）: 逆矩阵、列空间与零空间_第21张图片

仍然是满秩的，因为列空间的维数与输入空间的维数相等。

三维到二维

几何角度理解线性代数（2）: 逆矩阵、列空间与零空间_第22张图片
几何角度理解线性代数（2）: 逆矩阵、列空间与零空间_第23张图片

二维到一维

几何角度理解线性代数（2）: 逆矩阵、列空间与零空间_第24张图片

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