MachineLearning(9)-最大似然、最小KL散度、交叉熵损失函数三者的关系

问题缘起：给定一组数据$(x^1,x^2,...,x^m)$,希望找到这组数据服从的分布。此种情况下，分布规律用概率密度p(x)表征。

问题归处：如果能够建模/近似建模p(x)，就能够利用p(x)进行采样/数据生成。离散化x的空间$\{x_i{\}}_{i=1}^n$, 计算$\{p(x_i){\}}_{i=1}^n$,取概率最大的$x_k$作为生成样本。

最大似然：常用来解决这类问题。具体做法：参数还一个概率分布$q_{\theta }(x)$,是的观测样本$(x^1,x^2,...,x^m)$在$q_{\theta }(x)$的似然函数最大。

似然函数：表示的是已知随机变量的取值时，未知参数的取值可能性：L(θ|x)=P(X=x|θ)。直观理解就是在参数$\theta$情况下，出现$(x^1,x^2,...,x^m)$这组数据的可能性，数学表达式为(概率密度积分记为概率)：
$$L(\theta |x)=\prod _{i=1}^m{p}_{\theta }(x_i)\text{\hspace{1em}(1)}$$

我们需要调整参数$\theta$来使这个出现这组数据的可能性最大，即最大似然。

为了简化似然函数中的连乘计算，常常会使用对数似然函数，使得连乘转变为连加（取对数不会改变似然的最优解–最优解是自变量的值，最优解值才是因变量的值）。

最大化对数似然问题可以统一为下式，即 最优的参数 是使 对数似然的值最大的$\theta$：
$$\begin{gathered} {\theta }^{\ast }=\arg \underset{\theta }{\max }\log \prod _{i=1}^m{p}_{\theta }(x_i) \\ =\arg \underset{\theta }{\max }\sum _{i=1}^m\log p_{\theta }(x_i) \\ =\arg \underset{\theta }{\max }\sum _{i=1}^m\frac{1}{m}\log p_{\theta }(x_i) \\ \approx \arg \underset{\theta }{\max }{\mathbb{E}}_{x\sim p}[\log p_{\theta }]\text{\hspace{1em}(2)} \end{gathered}$$

上式子第三行到第四行的转换 为 均值 近似 期望 的离散化计算过程。$p$为目标函数，$p_{\theta }$用于近似目标函数为了避免混淆，将$p_{\theta }$用$q_{\theta }$表示。上式子可改写成：
$${\theta }^{\ast }=\arg \underset{\theta }{\max }{\mathbb{E}}_{x\sim p}[\log q_{\theta }]\text{\hspace{1em}(3)}$$

最小KL散度：在上式子中加上一项与优化无关的常数项：
$$\begin{gathered} {\theta }^{\ast }=\arg \underset{\theta }{\max }\{{\mathbb{E}}_{x\sim p}[\log q_{\theta }]-{\mathbb{E}}_{x\sim p}[\log p]\} \\ =\arg \underset{\theta }{\max }\{{\int }_{x}p(x)\log \frac{q_{\theta }(x)}{p(x)}dx\} \\ =\arg \underset{\theta }{\max }-KL(p,q) \\ =\arg \underset{\theta }{\min }KL(p,q)\text{\hspace{1em}(4)} \end{gathered}$$

交叉熵损失：
式（2）添一个负号后可以转换为最小化交叉熵的问题：
$$\begin{gathered} \arg \underset{\theta }{\max }{\mathbb{E}}_{x\sim p}[\log p_{\theta }] \\ =\arg \underset{\theta }{\min }crossentropy(p,q_{\theta })\text{\hspace{1em}(5)} \end{gathered}$$

综上：
1.求解最大似然问题 等价于 最小化参数分布和目标分布的KL散度

2.常用于分类问题中的交叉熵损失函数 本质是 极大似然问题，也就是在最小化 目标分布与模型输出分布的之间的KL散度问题。在实际K分类问题中， 目标分布用one-hot编码表示； 神经网络模型最后全联接层输出的K个得分数值 可以通过softmax 归一化成对应类别的概率分布，即模型输出分布。

参考资料：
似然函数参见百度百科：https://baike.baidu.com/item/%E4%BC%BC%E7%84%B6%E5%87%BD%E6%95%B0/6011241?fr=aladdin