基于密度聚类方法（DBSCAN算法）及简单案例

基于密度聚类方法（DBSCAN算法）

密度聚类方法的指导思想: 只要样本点的密度大于某个阈值，则将该样本添加到最近的簇中；

• 优点：这类算法可以克服基于距离的算法只能发现凸聚类的缺点，可以发现任意形状的聚类，而且对噪声数据不敏感。
• 缺点：计算复杂度高，计算量大

常用算法：DBSCAN、密度最大值算法

DBSCAN算法(Density-Based Spatial Clustering of Applications withNoise)

DBSCAN算法是一个比较有代表性的基于密度的聚类算法，相比于基于划分的聚类方法和层次聚类方法，DBSCAN算法将簇定义为密度相连的点的最大集合，能够将足够高密度的区域划分为簇，并且在具有噪声的空间数据商能够发现任意形状的簇。

DBSCAN算法的核心思想是：用一个点的ε邻域内的邻居点数衡量该点所在空间的密度，该算法可以找出形状不规则的cluster，而且聚类的时候事先不需要给定cluster的数量

DBSCAN算法基本概念

• ε邻域(ε neighborhood，也称为Eps)：给定对象在半径ε内的区域$$N_{\epsilon }=y\in X:dist(x,y)\le \epsilon$$
• 密度(density)：ε邻域中x的密度，是一个整数值，依赖于半径ε$$p(x)=|N_{\epsilon }(x)|$$
• MinPts定义核心点时的阈值，也简记为M
• 核心点(core point)：如果$p(x)>=M$,那么称x为X的核心点；记由X中所有核心点构成的集合为$X_c$，并记$X_c=X\backslash X_c$表示由X中所有非核心点构成的集合。直白来讲，核心点对应于稠密区域内部的点。
• 边界点(border point): 如果非核心点x的ε邻域中存在核心点，那么认为x为X的边界点。由X中所有的边界点构成的集合为$X_{bd}$。直白来将，边界点对应稠密区域边缘的点。$$x\in X_{nc};ヨy\in X;y\in N_{\epsilon }(x)\cap X_c$$
• 噪音点(noise point)：集合中除了边界点和核心点之外的点都是噪音点，所有噪音点组成的集合叫做$X_{noi}$；直白来讲，噪音点对应稀疏区域的点。$$X_{noi}=X\backslash (X_c\cup X_{bd})$$
• 直接密度可达(directly density-reachable)：给定一个对象集合X，如果y是在x的ε邻域内，而且x是一个核心对象，可以说对象y从对象x出发是直接密度可达的$$x,y\in X;x\in X_c,y\in N_{\epsilon }(x)$$
• 密度可达(density-reachable)：如果存在一个对象链$p_1$,$p_2$,…$p_m$,如果满足$p_{i+1}$是从$p_i$直接密度可达的，那么称$p_m$,是从$p_1$密度可达的.
• 密度相连(density-connected)：在集合X中，如果存在一个对象o，使得对象x和y是从o关于ε和m密度可达的，那么对象x和y是关于ε和m密度相连的
• 簇(cluster)：一个基于密度的簇是最大的密度相连对象的集合C；满足以下两个条件：
  • Maximality：若x属于C，而且y是从x密度可达的，那么y也属于C
  • Connectivity：若x属于C，y也属于C，则x和y是密度相连的

例子：

DBSCAN算法流程

算法流程：

1. 如果一个点x的ε邻域包含多余m个对象，则创建一个x作为核心对象的新簇；
2. 寻找并合并核心对象直接密度可达的对象；
3. 没有新点可以更新簇的时候，算法结束。

算法特征描述:

• 每个簇至少包含一个核心对象
• 非核心对象可以是簇的一部分，构成簇的边缘
• 包含过少对象的簇被认为是噪声

DBSCAN算法优缺点

• 优点：
  • 不需要事先给定cluster的数目
  • 可以发现任意形状的cluster
  • 能够找出数据中的噪音，且对噪音不敏感
  • 算法只需要两个输入参数
  • 聚类结果几乎不依赖节点的遍历顺序
• 缺点：
  • DBSCAN算法聚类效果依赖距离公式的选取，最常用的距离公式为欧几里得距离。但是对于高维数据，由于维数太多，距离的度量已变得不是那么重要
  • DBSCAN算法不适合数据集中密度差异很小的情况

密度聚类算法（DBSCAN算法）案例

使用scikit的相关API创建模拟数据，然后使用DBSCAN密度聚类算法进行数据聚类操作，并比较DBSCAN算法在不同参数情况下的密度聚类效果

# 导包
import numpy as np
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
import sklearn.datasets as ds
import matplotlib.colors
from sklearn.cluster import DBSCAN
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

## 设置属性防止中文乱码及拦截异常信息
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = [u'SimHei']
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

### 创建模拟数据
N = 1000
# 生成以[1, 2], [-1, -1], [1, -1], [-1, 1]为中心，方差为1,0.75, 0.5,0.25的四个数据集
centers = [[1, 2], [-1, -1], [1, -1], [-1, 1]]
data1, y1 = ds.make_blobs(N, n_features=2, centers=centers, cluster_std=(1,0.75, 0.5,0.25), random_state=0)
data1 = StandardScaler().fit_transform(data1)
params1 = ((0.15, 5), (0.2, 10), (0.2, 15), (0.3, 5), (0.3, 10), (0.3, 15))

# 生成以三个圆环数据集
t = np.arange(0, 2 * np.pi, 0.1)
data2_1 = np.vstack((np.cos(t), np.sin(t))).T
data2_2 = np.vstack((2*np.cos(t), 2*np.sin(t))).T
data2_3 = np.vstack((3*np.cos(t), 3*np.sin(t))).T
data2 = np.vstack((data2_1, data2_2, data2_3))
y2 = np.vstack(([0] * len(data2_1), [1] * len(data2_2), [2] * len(data2_3)))
params2 = ((0.5, 3), (0.5, 5), (0.5, 10), (1., 3), (1., 10), (1., 20))

datasets = [(data1, y1,params1), (data2, y2,params2)]

# 画图用的横坐标轴范围
def expandBorder(a, b):
    d = (b - a) * 0.1
    return a-d, b+d
colors = ['r', 'g', 'b', 'y', 'c', 'k']
cm = mpl.colors.ListedColormap(colors)

### 画图
for i,(X, y, params) in enumerate(datasets):
    x1_min, x2_min = np.min(X, axis=0)
    x1_max, x2_max = np.max(X, axis=0)
    x1_min, x1_max = expandBorder(x1_min, x1_max)
    x2_min, x2_max = expandBorder(x2_min, x2_max)
    
    plt.figure(figsize=(12, 8), facecolor='w')
    plt.suptitle(u'DBSCAN聚类-数据%d' % (i+1), fontsize=20)
    plt.subplots_adjust(top=0.9,hspace=0.35)
    
    for j,param in enumerate(params):
        eps, min_samples = param
        model = DBSCAN(eps=eps, min_samples=min_samples)
        #eps 半径，控制邻域的大小，值越大，越能容忍噪声点，值越小，相比形成的簇就越多
        #min_samples 原理中所说的M，控制哪个是核心点，值越小，越可以容忍噪声点，越大，就更容易把有效点划分成噪声点
        
        model.fit(X)
        y_hat = model.labels_

        unique_y_hat = np.unique(y_hat)
        n_clusters = len(unique_y_hat) - (1 if -1 in y_hat else 0)
        print ("类别:",unique_y_hat,"；聚类簇数目:",n_clusters)
        
        
        core_samples_mask = np.zeros_like(y_hat, dtype=bool)
        core_samples_mask[model.core_sample_indices_] = True
        
        ## 开始画图
        plt.subplot(3,3,j+1)
        for k, col in zip(unique_y_hat, colors):
            if k == -1:
                col = 'k'
                
            class_member_mask = (y_hat == k)
            xy = X[class_member_mask & core_samples_mask]
            plt.plot(xy[:, 0], xy[:, 1], 'o', markerfacecolor=col, markeredgecolor='k', markersize=14)
            xy = X[class_member_mask & ~core_samples_mask]
            plt.plot(xy[:, 0], xy[:, 1], 'o', markerfacecolor=col, markeredgecolor='k', markersize=6)
        plt.xlim((x1_min, x1_max))
        plt.ylim((x2_min, x2_max))
        plt.grid(True)
        plt.title('$\epsilon$ = %.1f  m = %d，聚类簇数目：%d' % (eps, min_samples, n_clusters), fontsize=16)
    ## 原始数据显示
    plt.subplot(3,3,7)
    plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, s=30, cmap=cm, edgecolors='none')
    plt.xlim((x1_min, x1_max))
    plt.ylim((x2_min, x2_max))
    plt.title('原始数据，聚类簇数目:%d' % len(np.unique(y)))
    plt.grid(True)
    plt.show()