几何代数(Geometric Algebra)

一、四元数

1、定义

四元数是简单的超复数(实部和虚部组成),任意一个四元数都可以写成:
$$\begin{gathered} q=a+b\mathbf{i}+c\mathbf{j}+d\mathbf{k}=[w,\mathbf{u}] \\ 其中：{\mathbf{i}}^2={\mathbf{j}}^2={\mathbf{k}}^2=\mathbf{ijk}=-1，\mathbf{ij}=\mathbf{k}，\mathbf{jk}=\mathbf{i}，\mathbf{ki}=\mathbf{j} \end{gathered}$$
当$a=0$时称$q$为纯四元数

2、性质

模长(范数)：

$$||q||=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}=\sqrt{w^2+{\mathbf{u}}^2}$$

加减法：

$$\begin{gathered} q_1\pm q_2=(a_1\pm a_2)+(b_1\pm b_2)\mathbf{i}+(c_1\pm c_2)\mathbf{j}+(d_1\pm d_2)\mathbf{k}=[w_1\pm w_2,{\mathbf{u}}_1\pm {\mathbf{u}}_2] \\ 其中q_1=a_1+b_1\mathbf{i}+c_1\mathbf{j}+d_1\mathbf{k}=w_1+{\mathbf{u}}_1,q_2=a_2+b_2\mathbf{i}+c_2\mathbf{j}+d_2\mathbf{k}=w_2+{\mathbf{u}}_2 \end{gathered}$$

标量乘法：

$$tq=ta+tb\mathbf{i}+tc\mathbf{j}+td\mathbf{k}=[tw,t\mathbf{u}],其中t为标量$$

四元数乘法：

$$\begin{gathered} q_1{q}_2=(a_1{a}_2-b_1{b}_2-c_1{c}_2-d_1{d}_2)+ \\ (b_1{a}_1+a_1{b}_2-d_1{c}_2+c_1{d}_2)\mathbf{i}+ \\ (c_1{a}_1+d_1{b}_2+a_1{c}_2-b_1{d}_2)\mathbf{j}+ \\ (d_1{a}_1-c_1{b}_2+b_1{c}_2+a_1{d}_2)\mathbf{k} \\ =[w_1{w}_2-{\mathbf{u}}_1{\mathbf{u}}_2,w_1{\mathbf{u}}_1+w_2{\mathbf{u}}_2+{\mathbf{u}}_1\times {\mathbf{u}}_2] \\ 其中q_1=a_1+b_1\mathbf{i}+c_1\mathbf{j}+d_1\mathbf{k}=w_1+{\mathbf{u}}_1,q_2=a_2+b_2\mathbf{i}+c_2\mathbf{j}+d_2\mathbf{k}=w_2+{\mathbf{u}}_2 \end{gathered}$$

共轭和逆：

$$\begin{gathered} q^{\ast }=a-b\mathbf{i}-c\mathbf{j}-d\mathbf{k}=[w,\mathbf{u}] \\ q{q}^{\ast }=q^{\ast }q=||q|{|}^2,因此q^{-1}=\frac{q^{\ast }}{||q|{|}^2} \end{gathered}$$

几何意义：

$$\begin{gathered} 对于q=[\cos \theta ,\sin \theta \mathbf{u}],\mathbf{u}为单位向量,表示绕轴\mathbf{u}旋转\theta 度 \\ {q}^2=[\cos 2\theta ,\sin 2\theta \mathbf{u}],表示绕同一轴\mathbf{u}连续旋转\theta 度两次等同于直接绕轴\mathbf{u}旋转2\theta 度 \end{gathered}$$

3、旋转应用

对于任意向量$\mathbf{v}$以单位向量定义的旋转轴$\mathbf{u}$旋转$\theta$度后得到${\mathbf{v}}^{\prime }$,令$v=[0,\mathbf{v}],v^{\prime }=[0,{\mathbf{v}}^{\prime }]$,那么$v^{\prime }=qv{q}^{-1}$,其中$q=[\cos \frac{\theta }{2},\sin \frac{\theta }{2}\mathbf{u}]$

四元数转旋转矩阵：

对于任意向量$\mathbf{v}$经过旋转矩阵$\mathbf{R}$旋转后得到${\mathbf{v}}^{\prime }$
R = [ r 11 r 12 r 13 r 21 r 22 r 23 r 31 r 32 r 33 ] \boldsymbol{R}=\begin{bmatrix} r_{11}&r_{12}&r_{13}\\ r_{21}&r_{22}&r_{23}\\ r_{31}&r_{32}&r_{33}\\ \end{bmatrix} R= ​r11​r21​r31​​r12​r22​r32​​r13​r23​r33​​ ​
令$v=[0,\mathbf{v}],v^{\prime }=[0,{\mathbf{v}}^{\prime }],q=a+b\mathbf{i}+c\mathbf{j}+d\mathbf{k}$,那么$v^{\prime }=qv{q}^{-1}$,其中
$$\begin{gathered} a=\frac{\sqrt{r_{11}+r_{22}+r_{33}+1}}{2} \\ b=-\frac{r_{23}-r_{32}}{4a} \\ c=-\frac{r_{31}-r_{13}}{4a} \\ d=-\frac{r_{12}-r_{21}}{4a} \end{gathered}$$

旋转矩阵转四元数：

对于任意向量$\mathbf{v}$以单位向量定义的旋转轴$\mathbf{u}$旋转$\theta$度后得到${\mathbf{v}}^{\prime }$，令$q=a+b\mathbf{i}+c\mathbf{j}+d\mathbf{k}$,其中$a=\cos \frac{\theta }{2},b=\sin \frac{\theta }{2}{u}_x,c=\sin \frac{\theta }{2}{u}_y,d=\sin \frac{\theta }{2}{u}_z$,那么${\mathbf{v}}^{\prime }=\mathbf{R}\mathbf{v}$,其中
R = [ 1 − 2 c 2 − 2 d 2 2 b c − 2 a d 2 a c + 2 b d 2 b c + 2 a d 1 − 2 b 2 − 2 d 2 2 c d − 2 a b 2 b d − 2 a c 2 a b + 2 c d 1 − 2 b 2 − 2 c 2 ] \boldsymbol{R}=\begin{bmatrix} 1-2c^2-2d^2&2bc-2ad&2ac+2bd\\ 2bc+2ad&1-2b^2-2d^2&2cd-2ab\\ 2bd-2ac&2ab+2cd&1-2b^2-2c^2\\ \end{bmatrix} R= ​1−2c2−2d22bc+2ad2bd−2ac​2bc−2ad1−2b2−2d22ab+2cd​2ac+2bd2cd−2ab1−2b2−2c2​ ​

二、外积

1、定义

点：标量(scalar)，0维子空间，无几何拓展，如$s$，具有大小和方向
线：向量(vector)，1维子空间，1个方向拓展，如$\mathbf{a}$，具有大小和方向
面：双向量(bivector)，2维子空间，2个方向拓展，如$\mathbf{a}\wedge \mathbf{b}=-\mathbf{b}\wedge \mathbf{a}$，具有大小和方向
空间：三向量(trivector)，3维子空间，3个方向拓展，如$\mathbf{a}\wedge \mathbf{b}\wedge \mathbf{c}=-\mathbf{a}\wedge \mathbf{c}\wedge \mathbf{b}=\mathbf{c}\wedge \mathbf{a}\wedge \mathbf{b}$，具有大小和方向

2、加法

标量：$s_1+s_2$
向量：${\mathbf{a}}_1+{\mathbf{a}}_2$
双向量：$({\mathbf{a}}_1\wedge {\mathbf{b}}_1)+({\mathbf{a}}_2\wedge {\mathbf{b}}_2)$
三向量：$({\mathbf{a}}_1\wedge {\mathbf{b}}_1\wedge {\mathbf{c}}_1)+({\mathbf{a}}_2\wedge {\mathbf{b}}_2\wedge {\mathbf{c}}_2)$

2、乘法

标量：$s_1\ast s_2$
向量：${\mathbf{a}}_1\ast {\mathbf{a}}_2$
双向量：$({\mathbf{a}}_1\wedge {\mathbf{b}}_1)\ast ({\mathbf{a}}_2\wedge {\mathbf{b}}_2)$
三向量：$({\mathbf{a}}_1\wedge {\mathbf{b}}_1\wedge {\mathbf{c}}_1)\ast ({\mathbf{a}}_2\wedge {\mathbf{b}}_2\wedge {\mathbf{c}}_2)$