OpenGL超级宝典（第7版）笔记16 向量 矩阵 它们都有什么用

OpenGL超级宝典（第7版）笔记16 向量 矩阵 它们都有什么用

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前言

本篇并不是纯数学上的介绍，而是从实际应用的角度来想大家介绍向量矩阵的内容，所以说并不会十分枯燥，我们采用先介绍计算的细节和过程，然后介绍我们将在哪些地方用到它们，所以当大家看到复杂的计算时候不要抵触，这样或那样复杂的计算（比如矩阵乘法）都是为了能够实现各种各样的效果，并不是为了为难大家。

因为这并不是纯数学上的教学，所以我们并不会解释例如矩阵是怎么发明的，矩阵背后到底是什么（其实是多元一次方程组O(∩_∩)O）等等“数学”上的问题，我们只要知道怎么计算、一般要在哪里用就行了。

如果你想学习权威的数学上的内容，可以参考线性代数的书籍（但其实很多线性代数的知识我们并不会用到），教科书就行。

1 从坐标系开始

由于渲染都是在三维空间中展开，所以我们的所有点的坐标都是三维坐标，在OpenGL中有四大坐标其中包括：
1 对象坐标系（对于每个模型都会在建模的时候建立一个自己的坐标系，这是为了方便建模）
2 世界坐标系（当所有建模完成后要把这些模型放到一起，而这个坐标系就是世界坐标系）
3 视图坐标系（由于我们看到的画面是从一个特定的摄像机位置看过去的，所以会根据摄像机所建立的坐标系，用于将摄像机看到的画面处理出来）
4 裁剪和标准化坐标系（由于很多显示设备的不同，显示的大小比例都有所不同，并不是所有的物体都在我们的视线内，所以我们需要对这些坐标系进行标准化的转换，统一的进行缩放，这里用到的就是裁剪和标准化坐标系）

2 向量

2.1 向量基础

虽然说在数学上的向量是有起点和方向两个要素的，但是我们在OpenGL中并不考虑向量的起点，我们都认为向量的起点是原点，如果知道向量的两个顶点位置，那么只需要把终点位置减去起点位置就得到了向量的坐标。

对于坐标系来说都有一组基础的向量，分别指向XYZ轴的正方向（分别为i，j，k），而且它们的长度都为1，由于XYZ轴之间两两相互垂直，这组向量组成了一个正交体系，每个向量都可以由i、j、k来表示，比如下图：

ijk的相互垂直非常重要，当前我们很多的错误可能就来自于坐标系ijk并不相互垂直的问题。

2.2 向量运算

向量的长度（略）

点乘
首先是点乘，a、b两个向量点乘得到的是一个标量（即不带方向的量），具体是把两个向量的长度相乘并成上夹角的余弦值，在坐标上来说就是把两个的xyz值分别相乘后相加。

如果当a或b是单位向量（长度为1的向量）时，那么点乘的结果就是向量在单位向量方向上的投影的长度。

点乘也非常的常用，比如说在求投影的时候（上面介绍过了），比如说在比较两个向量的夹角大小的时候（比如说，比较我们的视线和反射光的夹角大小，由此来设置反射光斑有多大）

其上面的虚线为直接反射到眼睛里的光线，实线为反射后没有直接进入眼睛的光线，如果我们只接收进入眼睛的反射光，那么光滑表面的反射光斑的大小只是一个像素，几乎看不到反射光斑，如果我们加入一个可以容忍的角度值，让那些虽然不能直接进入眼睛的光线也显示为反射光（比如实线），这样我们才能得到一个有一定面积的光斑。这里我们就是通过将反射光和视线做点乘，并除以两者的长度，得到夹角的余弦值决定可容忍的角度值（即光斑的大小）

叉乘
刚才的点乘是乘以余弦值，而叉乘是乘以正弦值，同时叉乘得到的结果不是标量，而是垂直于当前两个向量的新向量，可以用右手定则判断（右手系下为右手定则，左手系下为左手定则，下图显示的是右手系下的情况）。

（勘误：a叉乘b的结果的y值是-azbx+axbz）
如果你是第一次看到这个叉乘的公式那么你一定头都要大了（这公式有点长，其实有简单的记忆方法），但是它是相当常用的东西，比如说判断一个点是否在三角形内（无论是不是三维空间中的三角形）。

反射
由于入射角等于出射角，所以简简单单把向量分解一下就可以算出反射后的向量方向（这里就用到了点乘）

折射
不知道我这里的算式和书上的是否等价，但是我们暂时还用不到折射公式，（可能到之后半透明物体的着色才会涉及）。（由于打公式太费劲了，我就手写了）

3 矩阵

3.1 矩阵基础

直观的看，矩阵就是一系列排列整齐的数字，其本事是源于多元一次方程组。矩阵把多元一次方程组的大量字符省略掉转而使用矩阵来运算，其虽源于多元一次方程组，但是从矩阵基础上得到的很多计算方法其实已经“脱离”了多元一次方程组本身。
从计算机的角度看，矩阵的出现省去了复杂的式子计算，取而代之的是简单的加减乘除和数据的移动，其更加适合计算机去计算结果。
我们可以先带大家看看矩阵的样子（从三元一次方程组抽象出来的矩阵与向量相乘），你可以看到系数的相对位置没有变化，只是把其中的变量xyz抽离了出来。（你当前完全可以把矩阵当做是多元一次方程组的另一种表示方法）

如果你看完之后有点懵，那很正常，作为一种新的表示方法的确很难让人接受。

3.2矩阵运算

矩阵乘法
矩阵乘法是我们在矩阵运算中使用的最多的运算之一，也是我们之后马上要用到的运算，大家一定要弄清楚是如何计算的，千万不要弄混了。
首先澄清一点虽然我上一个图的xyz下面标注的是向量，但是我们也可以把它看做是只有一列的矩阵，矩阵乘法的规则一样适用于向量。

首先，想要进行矩阵乘法需要满足一个条件：第一个矩阵的列的数量要等于第二个矩阵的行的数量。（这意味着矩阵乘法不满足交换律）（顺便提一下：矩阵乘法满足结合律）
矩阵乘法的结果是一个矩阵，它的行数等于第一个矩阵的行数，它的列数等于第二个矩阵的列数。

你可能会好奇这里为什么有个小人和床，其实是为了方便大家记忆，我们把A想象成床，把B想象成小人，那么进行矩阵乘法的要求就是小人的高度要和床的长度一样（人太高了躺不下去，床太长了有点浪费O(∩_∩)O），这样就记得更清楚了。

具体的矩阵乘法规则是：结果矩阵中第 i 行第 j 列的数值是取A的第 i 行和B的第 j 列做点乘得到的。例子如下：

小人他又来了，既然已经知道了要求的值，确定了行数和列数，那肯定要在床（A矩阵）上取一行、在人（B矩阵）上取一列才可以啊~，这就是为什么矩阵乘法有一个先行的条件，因为如果AB不满足之前的条件那么点乘就无法进行。

说了这么多，这个矩阵乘法有什么用呢？
我先想到的是坐标系转换。假如说当前坐标下有向量a，其坐标为(ax,ay,az)那么假如当前坐标系发生了旋转（比如摄像机的朝向发生了旋转），那么之前的向量在新坐标系下的坐标就会发生改变（毕竟只是摄像机改变了朝向，本事物品的位置并没有改变），那么新坐标就需要重新计算，这里就用到了矩阵乘法。

如果我们不管矩阵，直接计算新坐标系下的向量坐标(ax’,ay’,az’)，先计算ax’，ax’应该等于之前的向量坐标点乘上新坐标系的i’向量（即新坐标i向量在原坐标系下的坐标），同理ay’应该等于之前的向量坐标(ax,ay,az)点乘上新坐标系的j’向量，同理az’也一样。（这是因为ax’ay’az’就是向量在新坐标系下XYZ轴上的投影）

如果你把ijk的三个分量分别放到矩阵的前三行，并且和a向量做矩阵乘法，你会惊人的发现这不正是在做坐标系变换吗！

也就是说如果我们想把当前的坐标变成另一个坐标系下的坐标，那么只需要提供i’j’k’的坐标就行了，让每一个顶点或是向量都和i’j’k’的矩阵做乘法，就得到了新坐标系下的坐标了，我们再把新坐标系下的坐标投影到我们的屏幕上，我们就得到了一个3D上的视角移动。
所以我们不断移动摄像机的角度、位置，其实就是在不断的改变矩阵中的数值，计算机通过这些数值计算新画面的样子，这使得我们的游戏看上去是3D的（其实显示的只是一连串二维的画面，毕竟屏幕只显示二维图像）
其他
还有一些有关矩阵的转置（行和列翻转，第n行变成第n列，第m列变成了第m行），单位矩阵（对角线上的数都是1，其他都是0），矩阵的逆（矩阵的逆乘上矩阵本身得到的结果是单位矩阵），正交矩阵，我们就不再细说了都是比较简单的概念，可以自己去看看，或是到了使用的时候再看看也可以。
（虽然有些算起来挺难的，有些定理也比较难证明，但我们只需要拿来用就行了）

4 总结

我们这次介绍了坐标系，向量，矩阵，介绍了他们的一些基础计算。我们下面开始就要开始逐渐涉及这些计算来实现3D效果，我们接下来会介绍物体的变换矩阵（缩放，旋转，位移），介绍透视矩阵、观察矩阵。如果篇幅允许，我们将在代码上进行实现，最终实现一个空间中的三角形面片（我们可以自由移动视角观察这个三角形）
我们下一篇见~~

关于书籍的问题
如果你手中没有该书，我还是建议你购买一本，毕竟书本毕竟更加严谨专业，我这里难免遗漏一些细节，主要是提供实例，并做一个消化，将很混乱的流程为大家理清，但这笔记一定是通俗的，是对新手友好的（当然有时候你需要在某些方面自己努努力，比如后面出现的基本线性代数的内容，还有C语言或是c++的基础知识，虽然我可能也不太懂O(∩_∩)O，慢慢来吧）。

别被吓住
刚开始的时候很容易被OpenGL的巨长的函数和超级复杂的流程吓到，其实并没有那么可怕，只要对这样或那样的流程熟悉之后，一切都变得相当简单（当然如果你能提出一个更好的流程那就更好了，当我们把很多基础的工作做完，我们会不断的提出新问题新点子，用新的技术来实现它，最终完成OpenGL的学习）

虽然我也不知道后面将是怎样的道路，但至少努力学习是没错的。

我看过的相关内容
以下并不是全看完了，大部分看了15%就看不下去了，实在是没看懂。（本人没什么计算机编程基础，算是野生程序员吧，很多内容都不能标准表述，望见谅）
如果你对opengl的工作有了一定的了解，我一开始也是从这里开始的，但是仍然有很多的不懂的，最后至今为止，我杂糅了很多的网站内容包括LearnOpenGL、极客学院、哔哩哔哩的闫令琪计算机图形学（闫令琪又开202课程了，可以围观一下）、哔哩哔哩的傅老师的OpenGL课程、OpenGL编程指南"也称为红宝书"、OpenGL超级宝典"也称为蓝宝书"、当然还有很多的csdn文章O(∩_∩)O这就不介绍了，等用到是时候我在放链接吧O(∩_∩)O

这里面闫令琪的图形学比较易懂也很基础推荐可以作为开始（如果你是学OpenGL需要马上用，应该可以跳过，但是其中的内容很是很重要，这会让马上要涉及变换透视的章节更加易懂，推荐大家看看），之后是蓝宝书或是极客学院翻译的教程比较推荐，这两个还是比较适合你我这样的新手的。
这里不推荐看的是红宝书，这本书我看了有点类似于字典那样的工具书，不太适合新手上手学，而且讲的也并不是很通俗易懂（可能是我的书版本比较老吧…）

加油
当然如果你对我有信心，我也会持续更新（虽然前路漫漫），跟大家一同进步（虽然很可能没人看(╥╯^╰╥)，无所谓了，当然如有错误还请大家指正∠(°ゝ°)，哪里不懂我会尽力解决，哪里说的不好也可以指出我会及时修改~）

我们下篇见~~