洛谷P1829 [国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB

洛谷P1829 [国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB

题目大意

给出$n,m$，求$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}lcm(i,j)$

题解

前置知识：莫比乌斯反演

不妨设$n\le m$。

题意即求

$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\frac{i\times j}{\gcd (i,j)}$

枚举$\gcd$得

$\sum _{d=1}^n\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\frac{i\times j}{d}[\gcd (i,j)=d]$

稍作转换可得

$\sum _{d=1}^{n}d\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{d}\rfloor }i\times j\times [\gcd (i,j)=1]$

利用莫比乌斯函数的性质，可得

$\sum _{d=1}^{n}d\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{d}\rfloor }i\times j\sum _{k|\gcd (i,j)}\mu (t)$

枚举$k$得

$\sum _{d=1}^{n}d\sum _{k=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }{k}^2\times \mu (k)\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{kd}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{kd}\rfloor }i\times j$

$\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{kd}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{kd}\rfloor }i\times j$可变为$\frac{\lfloor \frac{n}{kd}\rfloor \times (\lfloor \frac{n}{kd}\rfloor +1)}{2}\times \frac{\lfloor \frac{n}{kd}\rfloor \times (\lfloor \frac{n}{kd}\rfloor +1)}{2}$。设$gt(k)=\frac{k\times (k+1)}{2}$，则原式变为

$\sum _{d=1}^{n}d\sum _{k=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }{k}^2\times \mu (k)\times gt(\lfloor \frac{n}{kd}\rfloor )\times gt(\lfloor \frac{m}{kd}\rfloor )$

设$sum(n,m)=\sum _{k=1}^n{k}^2\mu (k)\times gt(\lfloor \frac{n}{k}\rfloor )\times gt(\lfloor \frac{m}{k}\rfloor )$，则$sum(n,m)$用数论分块可以$O(\sqrt{n})$求出。

则原式变为

$\sum _{d=1}^{n}d\times sum(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor ,\lfloor \frac{m}{d}\rfloor )$

我们发现这里也可以数论分块。两个数论分块套起来，总时间复杂度为$O(n)$。

code

#include
using namespace std;
const long long mod=20101009;
int n,m,z[10000005],p[10000005],mu[10000005];
long long s[10000005];
long long ans=0;
long long gt(int t){
	return 1ll*t*(t+1)/2%mod;
}
long long sum(int v1,int v2){
	long long re=0;
	for(int l=1,r;l<=v1;l=r+1){
		r=min(v1/(v1/l),v2/(v2/l));
		re=(re+(s[r]-s[l-1]+mod)%mod*gt(v1/l)%mod*gt(v2/l)%mod)%mod;
	}
	return re;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	if(n>m) swap(n,m);
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!z[i]){
			p[++p[0]]=i;mu[i]=-1;
		}
		for(int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=n;j++){
			z[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0){
				mu[i*p[j]]=0;
				break;
			}
			mu[i*p[j]]=-mu[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		s[i]=(s[i-1]+1ll*(mu[i]+mod)%mod*i%mod*i%mod)%mod;
	}
	for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){
		r=min(n/(n/l),m/(m/l));
		ans=(ans+1ll*(r-l+1)*(r+l)/2%mod*sum(n/l,m/l)%mod)%mod;
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

加强版

本题有加强版，有多组数据。

洛谷P1829 [国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB（包括多组数据）