局部敏感哈希(LSH):高维数据下的最近邻查找

哈希算法

首先,将局部敏感哈希之前,我们先说下普通的哈希算法,把任意长度的输入通过散列算法变换成固定长度的输出,该输出就是散列值。

最理想的是所有不同的输入都可以映射到散列值,但是存在这种可能性的。当不同的输入映射到相同的散列值时,就称为碰撞冲突

哈希算法是要避免碰撞冲突,而局部敏感哈希(Locality-Sensitive Hashing, 下面我们简称LSH)则相反,是要创造更多的碰撞冲突。

局部敏感哈希

应用

首先,我们讲一下LSH的应用,方便理解LSH是做什么的。

在很多领域中,经常会使用最近邻查找,例如人脸匹配、指纹匹配等,输入一个人脸数据(一般对应一个向量),然后跟数据库中的所有人脸进行比对,找出最接近的一个人脸。

最简单粗暴的实现就是线性查找匹配,即与所有数据逐一比较,留下最相似的。显而易见,这种方法极其耗时,存在很大的性能问题,特别是数据量和向量维度特别大的情况。

或者,为了加快查询速度,需要采用索引的方法,例如KD-Tree。

除此之外,就是我们这篇文章的主角:LSH。

算法原理

其实,它的本质还是哈希算法,但不同的时,针对于相似的输入,我们要提高碰撞冲突的概率,而对于差异很大的向量,则需要降低碰撞冲突的概率。

所以LSH的哈希函数(散列算法)要有这样的特性:相似的输入经过特定的哈希函数映射之后的哈希值,它们很大概率是相同的;反之,当差异很大的输入经过哈希函数映射后的哈希值相同的概率很小。

定义

局部敏感哈希(LSH):高维数据下的最近邻查找_第1张图片

p ∈ B ( q , r 1 ) p\in B(q,r_1) pB(q,r1),其实就是p与q的距离不超过 r 1 r_1 r1,代表p与q的相似度。

常用的LSH组合

在LSH中,不同的距离度量有着对应的哈希函数。

1、欧式距离

欧式距离对应的LSH hash function为:H(V) = |V*R + b| / a,R是一个随机向量,a是桶宽,b是一个在[0,a]之间均匀分布的随机变量。

这里的理解是:所有的向量经过哈希函数映射到一条直线上,这条直线由许多长度为a的线段组成,每一个不同的向量V会随机映射在不同的线段上。

2、Jaccard distance

d i s t a n c e = A ⋂ B A ⋃ B distance = \frac{A\bigcap B}{A \bigcup B} distance=ABAB

对应的哈希函数为:minhash

3、Hamming distance

distance = 两个具有相同长度的向量中对应位置处值不同的次数。

对应的哈希函数: H ( V ) = V i , V i H(V) = V_i,V_i H(V)=ViVi表示向量V的第i位上的值

(这里的向量一般都是进行0-1处理,即变为只有0或1的向量)

4、Cosine distance

distance = A*B / |A||B|

对应的哈希函数:H(V) = sign(V*R),R是一个随机向量。

方法步骤

1、首先,在离线状态下,将所有的向量通过特定的哈希函数映射到对应的索引位置;

2、输入一个向量,用同样的哈希函数计算哈希值,找到对应哈希值位置的所有向量;

3、根据对应的距离度量方法,与第2步查到的所有向量计算距离;

4、筛选出距离最小的n个向量,即为与输入向量最为相似的n个结果。

代码实现

import numpy as np
from typing import List, Union


class EuclideanLSH:

    def __init__(self, tables_num: int, a: int, depth: int):
        """

        :param tables_num: hash_table的个数
        :param a: a越大,被纳入同个位置的向量就越多,即可以提高原来相似的向量映射到同个位置的概率,
                反之,则可以降低原来不相似的向量映射到同个位置的概率。
        :param depth: 向量的维度数
        """
        self.tables_num = tables_num
        self.a = a
        # 为了方便矩阵运算,调整了shape,每一列代表一个hash_table的随机向量
        self.R = np.random.random([depth, tables_num])
        self.b = np.random.uniform(0, a, [1, tables_num])
        # 初始化空的hash_table
        self.hash_tables = [dict() for i in range(tables_num)]

    def _hash(self, inputs: Union[List[List], np.ndarray]):
        """
        将向量映射到对应的hash_table的索引
        :param inputs: 输入的单个或多个向量
        :return: 每一行代表一个向量输出的所有索引,每一列代表位于一个hash_table中的索引
        """
        # H(V) = |V·R + b| / a,R是一个随机向量,a是桶宽,b是一个在[0,a]之间均匀分布的随机变量
        hash_val = np.floor(np.abs(np.matmul(inputs, self.R) + self.b) / self.a)

        return hash_val

    def insert(self, inputs):
        """
        将向量映射到对应的hash_table的索引,并插入到所有hash_table中
        :param inputs:
        :return:
        """
        # 将inputs转化为二维向量
        inputs = np.array(inputs)
        if len(inputs.shape) == 1:
            inputs = inputs.reshape([1, -1])

        hash_index = self._hash(inputs)
        for inputs_one, indexs in zip(inputs, hash_index):
            for i, key in enumerate(indexs):
                # i代表第i个hash_table,key则为当前hash_table的索引位置
                # inputs_one代表当前向量
                self.hash_tables[i].setdefault(key, []).append(tuple(inputs_one))

    def query(self, inputs, nums=20):
        """
        查询与inputs相似的向量,并输出相似度最高的nums个
        :param inputs: 输入向量
        :param nums:
        :return:
        """
        hash_val = self._hash(inputs).ravel()
        candidates = set()

        # 将相同索引位置的向量添加到候选集中
        for i, key in enumerate(hash_val):
            candidates.update(self.hash_tables[i][key])

        # 根据向量距离进行排序
        candidates = sorted(candidates, key=lambda x: self.euclidean_dis(x, inputs))
        return candidates[:nums]

    @staticmethod
    def euclidean_dis(x, y):
        """
        计算欧式距离
        :param x:
        :param y:
        :return:
        """
        x = np.array(x)
        y = np.array(y)

        return np.sqrt(np.sum(np.power(x - y, 2)))


if __name__ == '__main__':
    data = np.random.random([10000, 100])
    query = np.random.random([100])

    lsh = EuclideanLSH(10, 1, 100)
    lsh.insert(data)
    res = lsh.query(query, 20)
    res = np.array(res)
    print(np.sum(np.power(res - query, 2), axis=-1))

    sort = np.argsort(np.sum(np.power(data - query, 2), axis=-1))
    print(np.sum(np.power(data[sort[:20]] - query, 2), axis=-1))
    print(np.sum(np.power(data[sort[-20:]] - query, 2), axis=-1))

这是经过LSH筛选出来的最接近的20个向量的距离

在这里插入图片描述
这里与所有数据根据距离进行一一对比,找出的最接近的20个向量的距离
在这里插入图片描述
可以看出,就算不用与所有数据进行一一对比,LSH也是能够以很高的概率筛选出相似的数据

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