线性代数笔记-线性空间和矩阵复习

复习思路

这次复习线性代数是为了给机器学习、数值分析、最优化理论三门课程打基础（这三门课程里面的矩阵使用实在太多、太深）。具体来说是要对行列式、矩阵运算、矩阵分解、线性变换里面的基础概念记忆。纸质的笔记仅列出概念，要求自己看到后能理解，算是对复习效果的自测。有时间的话把详细内容放在知乎上，以便以后复习。这次疫情我什么书也没带，因此深切感受到把笔记放在网上的重要性。

线性代数的问题是解线性方程组，记忆概念最好围绕具体解方程的问题展开。我一直不太赞同很多数学书前言中提出的

要用数学严谨、全面的思维学习

​ 我反而比较认同3Brown1Blue制作人Grant的观点。

学习一个数学概念的时候开始可以只学习简陋的（甚至错误的）结论，在使用和之后的学习过程中不断地完善这个结论

之前已经学过线性代数，用的国外教材（Linear Algebra and It’s Application），感觉这本书浅显易懂，而且作者举了很多实际科研应用中的例子．书里面讲解的内容都很基础，没有专门对付考试的套路．这次想找丘维声的高等代数来看看，很多比较难的地方就跳过去了，全当回忆基础概念．

基础介绍

• 线性代数是对解方程和线性空间/线性映射的讨论
• 集合上映射的定义：像、原像、定义域、培域
• 满射、单设、双射
• 映射的乘积：结合律
• 恒等映射，集合A上记作$1_A$
• 逆映射、可逆映射、左满右单、冲有条件

第一章 线性方程组解法

• 线性代数的出发点和矩阵的提出都源自n元线性方程组。核心问题就是怎么解方程（一直记得大一时，老师说这句话时，我心想这也太简单了……现在想起来当年还是naive）
• 方程组的初等变换、阶梯形方程组、同解定义
• 增广矩阵、阶梯形矩阵、矩阵初等换变换、主元
• 简化行阶梯形矩阵（作用）
• 判断n元线性方程组无解、有解（1个/无数个）
• 齐次线性方程->系数矩阵
• 零解、非零解（无数个姐）

行列式

一、意义：

我们已经知道高斯消元法解n个n元方程组，这一套方法自成体系，完全可以解决解方程的问题．现在我们想用系数矩阵的性质直接判断齐次方程组是否有唯一解．

二、.逆序数

1.逆序数：在一个排列中，逆序的数量即为一个排列的逆序数，记为$\tau (排列)$．

例如排列2431，其中逆序为43、12、13、14。那么$\tau (2431)=4$

偶排列和奇排列：逆序数为偶数为偶排列，否则为奇排列。

2.定理：对换改变排列的奇偶性。

3.定理：任一n元排列与排列1，2，……，n可以经过一系列对换互变，并且所作对换的次数与这个n原排列有相同的奇偶性。

4.定理：在全部n原排列（n > 1）中，奇偶排列各占一半

三、行列式

1.定义：n阶矩阵$A=(a_{ij})$的行列式为
$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\sum _{j_1{j}_2\cdots j_n}(-1{)}^{\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)}{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}\cdots a_{n{j}_n}$$
其中$j_1{j}_2\cdots j_n$表示取遍所有的n元排列

例如二阶矩阵$A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)$，的行列式有2!项。结果为$a_{12}{a}_{22}+a_{12}{a}_{21}$

更一般形式推导：$|A|$中的每一项为$(-1{)}^{\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)}{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}\cdots a_{n{j}_n}$

考虑重新排列$a_{1j_1}{a}_{2j_2}\cdots a_{n{j}_n}$为$a_{i_1{k}_1}{a}_{i_2{k}_2}\cdots a_{i_n{k}_n}$

可以证明$(-1{)}^{\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)}{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}\cdots a_{n{j}_n}=(-1{)}^{\tau (i_1{i}_2\cdots i_n)+\tau (k_1{k}_2\cdots k_n)}{a}_{i_1{k}_1}{a}_{i_2{k}_2}\cdots a_{i_n{k}_n}$

因此可以得到

$$|A|=\sum _{i_1{i}_2\cdots i_n}(-1{)}^{\tau (i_1{i}_2\cdots j_n)+\tau (k_1{k}_2\cdots k_n)}{a}_{i_1{k}_1}{a}_{i_2{k}_2}\cdots a_{i_n{k}_n}$$

2.按行（列）展开的形式表示行列式：

余子式：n级矩阵$A=(a_{ij})$，划去第i行第j列，剩下的元素按原来的次序排列成n - 1级矩阵，剩下的矩阵的行列式称为余子式，记为$M_{ij}$。令$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$称为代数余子式

行列式：行列式|A|等于第i行元素与自己的代数余子式乘积之和
$$|A|=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{M}_{ij}$$
注：对任意一列也可以做相同的展开得到行列式。

4.行列式性质

性质1：$|A|=|A^T|$

性质2：矩阵A某一行乘上系数k得到矩阵B，则$|B|=k|A|$
$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮\\ k{a}_{i1}& \cdots & k{a}_{in}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=k\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$
性质3：
$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮\\ b_{i1}+c_{i1}& \cdots & b_{in}+c_{in}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮\\ b_{i1}& \cdots & b_{in}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮\\ c_{i1}& \cdots & c_{in}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$
性质4：矩阵A对换两行得到矩阵C，则$|C|=-|A|$
$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{k1}& \cdots & a_{kn}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{k1}& \cdots & a_{kn}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$
性质5：两行成比例（包括相同），行列式相等

性质6：把矩阵A一行的倍数加到另一行上得到矩阵D（矩阵的基本变换），则$|D|=|A|$
$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{k1}& \cdots & a_{kn}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{i1}+l{a}_{k1}& \cdots & a_{in}+l{a}_{kn}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{k1}& \cdots & a_{kn}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

线性空间

一、意义

行列式给出了n个n元方程组有无唯一解的判断。对于m个n元方程的解我们还不清楚，而研究线性空间和线性空间的向量就可以判断该方程组解的情况，并且用向量表示出解空间

二、线性空间的基本概念

1.定义线性空间：线性空间就是要在空间上定义加法和数乘两种运算，然后然运算满足8种性质

2.定义行向量和列向量：其实向量到底是行还是列不重要，重要的是要统一记号，比如行向量这样写$a=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$，而列向量写成：
$$a=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)$$
3.定义子空间：在原本的线性空间上对加法和数乘封闭

4.向量组$a_1,\cdots ,a_n$：这个概念包括了线性组合，生成子空间$<a_1,\cdots ,a_n>$。

注：组和空间都是一个集合

向量组$a_1,a_2,\cdots ,a_n$的线性组合表示方程组：$k_1{a}_1+k_2{a}_2+\cdots +k_n{a}_n=\beta$

注：可以把这个式子看成矩阵乘列向量$Ak=\beta$，这就把解方程组的问题彻底转化成了矩阵和线性空间的问题

三、解的推导

1.线性相关充要条件：向量组$a_1,a_2,\cdots ,a_n,A=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$：

（1）齐次方程组$x_1{a}_1+x_2{a}_2+\cdots +x_n{a}_n=0$有非零解

（2）|A| = 0

2.线性相关/无关条件：类似的等价关系都是从行列式，方程组解的角度考虑

（1）若$a_1,a_2,\cdots ,a_n$线性无关，则给每个向量加上m个维度向量组还是线性无关

比如给(0, 1),(1, 0)加上一个维度变成(0, 1, 1),(1, 0, 1)两个向量还是线性无关

（2）类似的，如果向量组线性相关，减掉m个维度也线性形相关

（3）过渡矩阵：如果向量组$a_1,\cdots ,a_n$线性无关，且
$$\begin{gathered} {\beta }_1=b_{11}{a}_1+\cdots +b_{n1}{a}_n \\ ⋮ \\ {\beta }_n=b_{1n}{a}_1+\cdots +b_{nn}{a}_n \end{gathered}$$
则向量组${\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n$线性无关的充要条件是过渡矩阵|P| = 0，即
$$|P|=\left|\begin{array}{ccc}{b}_{11}& \cdots & b_{1n}\\ ⋮& & ⋮\\ b_{n1}& \cdots & b_{nn}\end{array}\right|=0$$
注：这个过渡矩阵一般用在之后的换线性空间的基的时候

3.秩：向量组的秩$rank{a_1, \cdots, a_n} = $极大线性无关组的向量个数

秩判断方程组解定理：如果向量组$a_1,\cdots ,a_n$和$a_1,\cdots ,a_n,\beta$秩相等则方程组$x_1{a}_1+\cdots +x_n{a}_n=\beta$有解

4.线性空间V的基S：向量组S线性无关，且能线性表示空间中所有的向量

例如：二维空间中的(1, 0), (0, 1)

定理：线性空间的维度$dimV=$ 基中的向量个数

行秩和列秩：矩阵的行向量的秩 = 矩阵的列向量的秩（感觉这个证明还是很重要的，很多初等变换和矩阵证明手法都用到了）

定理：$rank\{A\}=rank\{A^{\prime }\}$

定理：非零矩阵的秩等于它不为0子式（本质上是子矩阵的行列式）的最高阶数

对于n阶方阵A：$rank\{A\}=n$等价于$|A|\ne 0$

5.（回答本章的问题）方程组有解的充要条件：增广矩阵和系数矩阵的秩相等（根据秩判断方程组解定理已经很容易看出）。下证：
$$\begin{array}{rl}& x_1{a}_1+\cdots +x_n{a}_n=\beta \\ \iff & \beta \in <a_1,\cdots ,a_n>\\ \iff & rank\{a_1,\cdots ,a_n,\beta \}=rank\{a_1,\cdots ,a_n\}\\ \iff & 增广矩阵秩=系数矩阵秩\end{array}$$
系数矩阵判断：n元线性方程组系数矩阵A，如果rank{A} = n，则有唯一解，若小于n有无数解

6.（回答本章问题）解方程的办法（n元齐次方程组，系数矩阵A）

解空间W是线性空间$R^n$的子空间，因此用基表示W，且dim W = n - rank(A)

（1）将A化简为简约阶梯型，不妨设主元在前n列$1,2,\cdots ,r$

（2）得到解的统一表示，其中$x_{r+1},\cdots ,x_n$可以是任何数
$$\{\begin{array}{l}{x}_1=b_{1r+1}{x}_{r+1}-\cdots -b_{1n}{x}_n\\ x_2=b_{2r+1}{x}_{r+1}-\cdots -b_{2n}{x}_n\\ ⋮\\ x_r=b_{rr+1}{x}_{r+1}-\cdots -b_{rn}{x}_n\end{array}$$
（3）不妨给$x_{r+1},\cdots ,x_n$取n - r个不同的值分别为
$$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)\cdots \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right)$$
（4）得到的n - r个解向量组${\eta }_1,\cdots ,{\eta }_{n-r}$
$$\left(\begin{array}{c}-b_{1r+1}\\ -b_{2r+1}\\ ⋮\\ -b_{rr+1}\\ 1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)\cdots \left(\begin{array}{c}-b_{1n}\\ -b_{2n}\\ ⋮\\ -b_{rn}\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right)$$
（5）下证明所有解都可以由上述解向量组线性表示
$$\eta =\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right)\{\begin{array}{l}{c}_1=-b_{1r+1}{c}_{r+1}-\cdots -b_{1n}{c}_n\\ c_2=-b_{2r+1}{c}_{r+1}-\cdots -b_{2n}{c}_n\\ ⋮\\ c_r=-b_{rr+1}{c}_{r+1}-\cdots -b_{rn}{c}_n\end{array}$$
显然，可以由解向量组表示$\eta =c_{r+1}{\eta }_1+c_{r+2}{\eta }_2+\cdots +c_n{\eta }_{n-r}$

得到解空间W的描述，即向量组${\eta }_1,\cdots ,{\eta }_{n-r}$

非齐次方程：解出一个特解，然后去掉常数项变成齐次方程解出一组基，将特解加到基上即可得到结果。

四、更深入的话题

1.定义线性子空间中+运算（满足交换律，结合律）：
$$V_1+V_2=\{{\alpha }_1+{\alpha }_2|{\alpha }_1\in V_1,{\alpha }_2\in V_2\}$$

线性子空间的交$\cap$运算，加$+$运算结果为线性子空间

2.维度公式：$dim(V_1+V_2)=dim{V}_1+dim{V}_2-dim(V_1\cap V_2)$

3.定义直和：$V_1,V_2$是数域K上的线性空间V的子空间，如果
$$\begin{gathered} \forall \alpha \in V_1+V_2 \\ \alpha ={\alpha }_1+{\alpha }_2{\alpha }_1\in V_1{\alpha }_2\in V_2 \end{gathered}$$
则$V_1+V_2$为直和，记作$V_1\oplus V_2$，如下图

直和的等价条件：

（1）$V_1+V_2$是直和

（2）$V_1+V_2$中零向量表示法唯一

（3）$V_1\cap V_2=0$

（4）$V_1,V_2$的基$S_1,S_2$合起来是$V_1+V_2$的一个基

（5）$dim(V_1+V_2)=dim{V}_1+dim{V}_2$

4.定义补空间：如果$V_1\oplus V_2$则$V_1$和$V_2$互为补空间

定理：$V_1,V_2$的基合起来是V的基，则$V=V_1\oplus V_2$

5.定义同构映射：$\exists \sigma :V\to V^{\prime }$满足下面条件，则V和V’是同构的
$$\begin{gathered} \sigma (\alpha +\beta )=\sigma (\alpha )+\sigma (\beta ) \\ \sigma (k\alpha )=k\sigma (\alpha ) \end{gathered}$$
基相等定理：如果${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$是V的基则$\sigma ({\alpha }_1),\cdots ,\sigma ({\alpha }_n)$是V’的基

同构充分条件：两个空间维数相等

建立同构：数域K上任意n维线性空间与$K^n$同构，同构映射即$V中向量\to K^n$中的坐标

等价关系：同构关系是所有线性空间组成的集合上的等价关系

6.陪集（讨论一个线性空间内的等价关系）

（1）定义等价二元等价关系$\beta \sim \alpha$：$\beta -\alpha \in W$（W为V的线性子空间）

（2）构造划分：满足二元等价关系的所有$\alpha$组成集合$U_W$，所有的U就是线性空间V的一个划分

（3）定义陪集：把$U_W$称为子空间W的陪集，记为$\alpha +W$，称$\alpha$为这个陪集的代表

注：W可以有很多陪集，这些陪集就是线性空间的划分

7.商集：W所有等价类组成的集合称为V的一个商集，记为V/W，表示为$V/W=\{\alpha +W|\alpha \in W\}$

注：商集是的元素是集合

商空间：可证V/W是数域K上的线性空间，被称为V对于子空间W的商空间

定理：$dim(V/M)=dimV-dimW$

定理：W是V的子空间，如果商空间V/W的一个基为${\beta }_1+W,\cdots ,{\beta }_t+W$，令$B=<{\beta }_1,\cdots ,{\beta }_t>$，则$V=W\oplus U$，并且${\beta }_1,\cdots ,{\beta }_t$是B的一个基

矩阵的运算

一、意义

已经看到解线性方程组可以化成矩阵的运算，因此在这一章详细讨论矩阵的运算，帮助解线性方程组．

起始矩阵的运算这一章一般人学过之后印象都比较深刻，所以感觉比较简单复习的时候扫描一下即可．

二、基础运算

1.运算：数乘，加法，乘法

运算律：

（1）结合律：(AB)C = A(BC)

（2）分配律：A(B + C) = AB + AC

（3）转置的关系：(A + B)’ = A’ + B’，(AB)’ = B’A’

2.矩阵的秩：rank(AB) $\le$min{rank(A), rank(B)}

3.过渡矩阵：线性空间V的两组基为${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$和${\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n$向量在第一组基下表示的坐标为$x$在第二组基下的坐标为$y$．根据之前的定义${\beta }_j$第一组基下的坐标为过度矩阵P的第j列，那么
$$\begin{gathered} ({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n)=({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)P \\ x=Py \end{gathered}$$

三、矩阵的逆和特殊矩阵（在方阵的条件下）

1.初等矩阵：单位矩阵经过一次初等行变换得到的矩阵称为初等矩阵

定理：初等矩阵左乘矩阵A，相当于对A做同样的初等行变换

基础矩阵：形如下面的矩阵
$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}0& 1& \cdots & 0\\ 0& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right)\cdots \left(\begin{array}{cccc}0& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right)$$
注：所有的n阶方阵组成的集合看作线性空间，基础矩阵是这个线性空间的一组基

2.可逆矩阵：A为n阶方阵，若存在B，使得AB = BA = I，则称A可逆，记B为$A^{-1}$

可逆的充要条件：

（1）$|A|\ne 0$，且能得出$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$其中$A^{\ast }$为伴随矩阵

（2）A是满秩矩阵

（3）A的列向量（或者行向量）线性无关

（4）A的列向量为空间$K^n$的基

（5）A可以表示成初等矩阵的乘积

运算率：（1）A，B可逆，则AB可逆（2）$(A^{\prime }{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^{\prime }$

定理：可逆矩阵左乘A，不改变A的秩

3.逆的计算方法：

（1）如果BA = I，则A，B都可逆，互为彼此的逆

（2）将B用初等矩阵的乘积表示$P_t\cdots P_2{P}_{1}A=I$

（3）$A=P_1^{-1}{P}_2^{-1}\cdots P_n^{-1}I$

（4）可知矩阵(A I)经过初等行变换得到矩阵$(I{A}^{-1})$

4.莫拉克法则（这个翻译好像有点奇怪）：A是数域K上的n级矩阵，当$|A|\ne 0$时，n元线性方程组$Ax=\beta$的唯一解为
$$(\frac{|B_1|}{|A|},\frac{|B_2|}{|A|},\cdots ,\frac{|B_n|}{|A|}{)}^{\prime }$$
其中$B_j$是把A的第j行换成$\beta$形成的

思路：由矩阵方程$Ax=B\Rightarrow x=A^{-1}B$得到

5.幂等矩阵：如果$A^2=A$则A是幂等矩阵

6.矩阵正交：$A_1{A}_2=A_2{A}_1=0$则两矩阵正交

定理：n阶方阵$A_1,\cdots ,A_s$正交充要条件为$rank(A)=rank(A_1)+\cdots rank(A_s),A=A_1+\cdots A_s$

7.对角矩阵：除主对角线以外的元素全为0

性质：用对角矩阵左乘A，相当于用对角矩阵的对角上的元素称A的行

8.对称矩阵：若A = A’则A为对称矩阵

性质：若A，B为对称矩阵，则AB为对称矩阵的充要条件为AB = BA

四、其他的运算性质

注：这些内容与之后的学习关系不大，在此不详细列出；以后用到了再更新

1.乘积与行列式：|AB| = |A||B|

2.矩阵的分块

3.矩阵相抵

4.矩阵广义逆

线性映射

一、意义

对线性空间进一步研究．对向量的线性映射可以理解为矩阵乘以向量，最终化成线性方程组的形式，因此线性映射核与像表示方程的解空间．进一步由线性映射的特征值引出矩阵的特征值，矩阵对角化的条件．

到这里已经有足够的知识学习机器学习中的奇异分解，估计应该也在数值分析和最优化理论中使用．

二、线性映射基本概念

1. 定义线性映射A：设V，V’是F上的线性空间，V到V’的映射A如果保持加法和数乘运算，则A是线性映射
$$\begin{gathered} A(\alpha +\beta )=A(\alpha )+A(\beta ) \\ A(k\alpha )=kA(\alpha ) \end{gathered}$$
概念：线性变换，数乘变换，零变换，恒等变换，零映射（映射是A到A’，变换是A到A）

性质：V的一个基${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$，则对于V中$\alpha =a_1\alpha +\cdots ,a_n{\alpha }_n$，有：$A(\alpha )=a_{1}A({\alpha }_1)+\cdots +a_{n}A({\alpha }_n)$，注：只要知道了V的一个基，V中每一个向量在A下的像就确定了

构造单射：V中取一个基${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$，V’中任取n个向量${\gamma }_1,\cdots ,{\gamma }_n$，构造映射A
$$\begin{gathered} A:V\to V^{\prime } \\ \alpha =\sum _{i=1}^n{a}_i{\alpha }_i\to \sum _{i=1}^n{a}_i{\gamma }_i \end{gathered}$$
2. 定义Hom(V, V’)：V到V’的所有线性映射

性质：Hom(V, V’)是域F上的线性空间，定义了线性映射的加法和数乘

3. 线性映射的运算

定义Hom(V, V’)：V到V’的所有线性映射，根据下面定义的加法和数乘，Hom(V, V)是线性空间

定义加法，数乘，乘法（满足结合律，分配律）：
$$\begin{gathered} (A+B)\alpha =A\alpha +B\alpha \\ (kA)\alpha =k(A\alpha ) \end{gathered}$$
4. 定义F上的代数：线性空间A有加法，乘法，数乘且A对于加法和乘法称为单位元的环，A的乘法和数乘满足：$k(\alpha \beta )=(k\alpha )\beta =\alpha (k\beta )$，则称A是F域上的一个代数，线性空间A的维数 = 代数A的维数

定义$M_n(F)$：域F上所有的n阶矩阵（显然$M_n(F)$维数是$n^2$）

5. 定义线性变换多项式集F(A)

（1）有了线性变换的乘法，可以定义线性变换的幂

（2）定义线性变换的多项式$f(A)$

（3）所有多项式组成集合F(A)，为线性空间

6. 定义投影：设V是域F上的线性空间，若$V=U\oplus W,\alpha \in V$设
$$\begin{gathered} \alpha ={\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_1\in U,{\alpha }_2\in W \\ {P}_U\alpha ={\alpha }_1 \end{gathered}$$
称$P_U$是平行于W在U上的投影，图形解释如下

性质：

（1）$P_U$是V上的线性变换

（2）$P_U=\{\begin{array}{l}\alpha ,\alpha \in U\\ 0,\alpha \in W\end{array}$

（3）$P_U^2=P_U$

7. 特殊的变换

幂等变换：$A^2=A$

正交：AB是零变换，则A，B正交

对合变换：$A^2=I$（I为恒等变换）

二、线性映射的核与像

1. 定义核，像：A是V到V’的映射，V的子集$\{\alpha \in V|A\alpha =0\}$是A的核，记作KerA；A的值域是A的像，记作ImA

2. 性质

（1）A是单射充要条件：KerA = 0

（2）A是满射充要条件：ImA = V’

（3）对于平行于W的投影$P_U$：$Ker{P}_U=W,Im{P}_U=U$

（4）同构映射：$V/KerA\cong ImA$

（5）有限维条件下：$dim(KerA)+dim(ImA)=dimV$

3. 定义维度，秩：dim(A的核) 称为A的零度，rank(A) = dim(A的像)

4. 定理：A是V上的线性变换，A是单射当且仅当A是满射

5. 线性方程组与线性映射

设线性方程组为$Ax=0,A=({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)$，A是$s\times n$矩阵

令线性映射
$$\begin{gathered} \mathcal{A}:F^n\to F^s \\ \alpha \to A\alpha \end{gathered}$$

则解空间$W=Ker\mathcal{A}$

A的列向量空间$<{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n>=Im\mathcal{A}$

得到$rank(A)=rank(\mathcal{A})$

注：此处将线性映射写成$\mathcal{A}$形式，以区分矩阵

6. 定理：如果线性变换A，$KerA\cap ImA=0$，则$V=KerA\oplus ImA$

定理：如果A是幂等变换，则$V=KerA\oplus ImA$

定理：A是幂等变换，则$V=ImA\oplus Im(I-A)$

定理：线性变换A，A是幂等变换当且仅当$rank(A)+rank(I-A)=n$

三、线性映射与矩阵

1. 线性变换对应的矩阵：

（1）选定线性空间上的基${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$

（2）线性映射$\mathcal{A}$表示成以下形式
$$\{\begin{array}{l}\mathcal{A}{\alpha }_1=a_{11}{\alpha }_1+\cdots +a_{n1}{\alpha }_n\\ \mathcal{A}{\alpha }_2=a_{12}{\alpha }_1+\cdots +a_{n2}{\alpha }_n\\ ⋮\\ \mathcal{A}{\alpha }_n=a_{1n}{\alpha }_1+\cdots +a_{nn}{\alpha }_n\end{array}$$
（3）则A为，线性变换在基${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$下的矩阵
$$A=(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & \\ ⋮& ⋮& & \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & \end{array}$$