矩阵乘法的意义

  矩阵乘法有很多意义，但是我只写三种：一、线性方程组；二、线性变换；三、线性组合。因为这三种对于初学者来说，比较容易理解。

线性方程组

  线性方程组可以看作矩阵与向量的乘积，比如下列线性方程组：
$$\begin{gathered} 5x+3y+2x=10 \\ -x+4y+6z=-10 \\ -2x-3y-4z=9 \end{gathered}$$
  可以表示为矩阵和一个未知向量相乘：
( 5 3 2 − 1 4 6 − 2 − 3 − 4 ) x = ( 10 − 10 9 ) x = ( 19 8 7 8 − 9 4 ) \begin{pmatrix} 5 & 3 & 2\\ -1 & 4 & 6 \\ -2 & -3 & -4 \end{pmatrix}x=\begin{pmatrix} 10\\ -10\\ 9 \end{pmatrix}\\ x=\begin{pmatrix} \frac{19}8\\ \frac{7}8\\ -\frac{9}4 \end{pmatrix} ​5−1−2​34−3​26−4​ ​x= ​10−109​ ​x= ​819​87​−49​​ ​

线性变换

  至于什么样的变换才能叫线性变换，这个是纯代数的问题，比较难，我这里就不过多讲了，但是行变换是一个线性变换，我举过例子，那么多个行变换就可以通过乘法组合起来，这点在后续的矩阵的LU分解中特别重要！尤其是多个线性变换先后作用，可以连乘起来，组成一个线性变换，比如下列行变换：
x 1 = ( 1 0 0 0 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) x 2 = ( 1 0 0 0 0 1 0 0 2 0 1 0 0 0 0 1 ) x_1= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\ x_2= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 2 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} x1​= ​1200​0100​0010​0001​ ​x2​= ​1020​0100​0010​0001​ ​
  $x_1$的作用是把第一行乘以两倍加到第二行，$x_2$的作用是把第一行乘以两倍加到第三行，那么先后进行这两种作用就是$x_1{x}_2$，把这两个矩阵乘起来使用就行了。
x 1 x 2 = ( 1 0 0 0 2 1 0 0 2 0 1 0 0 0 0 1 ) x_1x_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 0 & 0\\ 2 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} x1​x2​= ​1220​0100​0010​0001​ ​
  这个乘完的矩阵会把矩阵第一行乘以两倍，加到第二行和第三行。利用矩阵乘法，可以把多个线性变换组合起来，节省了大量计算量。

线性组合

  线性组合在几何空间里用得特别多。比如一个向量的坐标是$(1,1,1)$，那么就可以看成是自然基和$(1,1,1{)}^T$这个向量的乘法，于是有：
( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) ( 1 1 1 ) = ( 1 1 1 ) \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} ​100​010​001​ ​ ​111​ ​= ​111​ ​
  标准坐标系，计算没什么意义，假如坐标系换了呢？比如说坐标系换成了这样：
x 1 = ( 1 0 0 ) , x 2 = ( 1 2 0 ) , x 3 = ( 1 2 3 ) x_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, x_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, x_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} x1​= ​100​ ​,x2​= ​120​ ​,x3​= ​123​ ​
  那么其实就是要求三个比例${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$组成一个线性组合,使得下式成立：
α 1 ( 1 0 0 ) + α 2 ( 1 2 0 ) + α 3 ( 1 2 3 ) = ( 1 1 1 ) \alpha_1\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\alpha_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ 0 \end{pmatrix}+ \alpha_3\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} α1​ ​100​ ​+α2​ ​120​ ​+α3​ ​123​ ​= ​111​ ​
  其实也可以转为矩阵乘法，就是：
( 1 1 1 0 2 2 0 0 3 ) ( α 1 α 2 α 3 ) = ( 1 1 1 ) α 1 = 1 2 , α 2 = 1 6 , α 3 = 1 3 \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \alpha_1=\frac12,\alpha_2=\frac16,\alpha_3=\frac13 ​100​120​123​ ​ ​α1​α2​α3​​ ​= ​111​ ​α1​=21​,α2​=61​,α3​=31​