欧几里得算法求最小公倍数和最大公约数

定义： 欧几里得算法又称辗转相除法，是指用于计算两个非负整数a，b的最大公约数。应用领域有数学和计算机两个方面。计算公式gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)。

欧几里得算法和扩展欧几里得算法可使用多种编程语言实现。

最大公约数

最大公因数Greatest Common Divisor(GCD)，也称最大公约数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a，b的最大公约数记为（a，b），同样的，a，b，c的最大公约数记为（a，b，c），多个整数的最大公约数也有同样的记号。求最大公约数有多种方法，常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，a，b的最小公倍数记为[a，b]。

计算原理

证法一：
a可以表示成a = kb + r（a，b，k，r皆为正整数，且r

假设d是a,b的一个公约数，记作d|a,d|b，即a和b都可以被d整除。

而r = a - kb，两边同时除以d，r/d=a/d-kb/d=m，由等式右边可知m为整数，因此d|r

因此d也是b,a mod b的公约数。

因(a,b)和(b,a mod b)的公约数相等，则其最大公约数也相等，得证。

r=a mod b,上式就是一次辗转相除法，由于余数r式逐渐减少的，到某一时刻他会为零，即

很明显m就是a和b之间的最大公约数了，比如21和15的最大公约数如下：

C语言实现：

常规：

#include<stdio.h>
int main()
{
    int m,n,i;
    scanf("%d",&m);
    scanf("%d",&n);
    for(i=m;i>=1;i--)
        if(m%i==0 && n%i==0)
            break;
    printf("%d\n",i);
    return 0; 
}

递归算法：

#include <stdio.h>
/*
 * 最大公约数的递归：
 * 1、若a可以整除b，则最大公约数是b
 * 2、如果1不成立，最大公约数便是b与a%b的最大公约数
 * 示例：求(140,21)
 * 140%21 = 14
 * 21%14 = 7
 * 14%7 = 0
 * 返回7
 * */
int gcd(int a,int b){
	if(b==0) return a;
    return gcd(b,a%b);
}
int main() {
	int a,b;
  while(scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF){
  	printf("%d",gcd(a,b));
  }
  return 0;
}

C++实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int m,n;
    cin>>m>>n;
    cout<<__gcd(m,n);
}

#include<cstdio>
int GCD(int a,int b)
{
    return a%b?GCD(b,a%b):b;
}
int main()
{
    int x,y;
    scanf("%d%d",&x,&y);
    printf("%d",GCD(x,y));
    return 0;
}

Java实现

import java.util.Scanner;
public class Six {
public static void main(String[] args) {
System.out.print("请输入a和b");
Scanner scan = new Scanner(System.in);//以空格作为分隔符
int a = scan.nextInt();
int b = scan.nextInt();
int middle1,middle2,middle3;
middle1=a;
middle2=b;
middle3=0;
for (int i=0;i<i+1;i++) {
middle3=middle1%middle2;
if(middle3==0)
break;
else{
middle1=middle2;
middle2=middle3;
}
}
System.out.println("最大公约数为："+middle2);
}
}

最小公倍数

最小公倍数可以通过最大公约数求：最小公倍数 = 两数之和 / 最大公约数。