第二章范式

符号集: ¬, ∧, ∨, → , ↔

第二章 命题逻辑的推理理论

学习目标

1.1 析取范式和合取范式的概念
1.2 利用等值演算法计算命题公式的范式
2.1 小项和大项的概念及编码
2.2主析取范式及计算
2.3主合取范式及其计算
3.1能运用各种命题推理

合取式&析取范式

合取式概念: 由命题变元 或其否定形式 构成的合取式称为简单合取式
eg: ¬p∧q, p∧¬q, p∧q, ¬q, ¬p ,p 都是简单合取式

析取范式概念: 由 简单合取式 进行析取 的公式称为 析取范式 [ L1 ∨ L2 ∨… ∨ Ln ]

析取式&合取范式

析取式概念: 由命题变元 或其否定形式 构成的析取式称为简单析取式
eg: ¬p∨q, p∨¬q, p∨q, ¬q, ¬p ,q 都是简单析取式

合取范式概念: 由 简单析取式 进行合取 的公式称为 合取范式 [ L1 ∧ L2 ∧… ∧ Ln ]

注意

1.任何命题公式都可以化成与其等价的析取范式或合取范式
    2. 求析取范式和合取范式的步骤
       I.消去  → , ↔
       II.利用双重否定 消去 否定连接词¬ ; 利用德摩根定律将否定提到外面
       III.利用分配律,结合律将公式约为合取范式和析取范式

极小项

意义: 在含有n个命题变元P1,P2,P3…Pn的短语或子句中,若每个命题变元与其否定不同时存在.但二者之一恰好出现一次仅一次,并且出现的次序和P1,P2,P3…Pn一致,则称此短语或子句为关于P1,P2,P3…Pn的一个极小项或极大项
如(P,Q构成的极小项表示 : ( ¬p∧q, p∧¬q, p∧q, ¬q∧¬p )(m01,m10,m11,m00)(m2,m1,m0,m3)
注意若有n个命题变元.则有2的n次方个小项

极大项

意义: 在含有n个命题变元P1,P2,P3…Pn的短语或子句中,若每个命题变元与其否定不同时存在.但二者之一恰好出现一次仅一次,并且出现的次序和P1,P2,P3…Pn一致,则称此短语或子句为关于P1,P2,P3…Pn的一个极小项或极大项
如(P,Q构成的极大项表示 : ¬pVq, pV¬q, pVq, ¬qV¬p )(m10,m01,m00,m11)(m2,m1,m0,m3)
注意若有n个命题变元.则有2的n次方个小项

极小项和极大项的性质

主析取范式和主合取范式

为什么引入主析取/合取范式: 因为范式的不唯一性,我们考虑对构成范式的子句和短语进一步规范化,从
而形成唯一的主析取范式和主合取范式
主析取范式概念 :在给定的析取范式中,若每一个短语都是极小项,且按照编码从小到大的顺序排列,则称该范式为主析取范式

主合取范式概念 :在给定的析取范式中,若每一个短语都是极大项,且按照编码从小到大的顺序排列,则称该范式为主析取范式

注意

1. 如果一个主析取范式不包含任何极小项,则称该主析取范式为"空" ;
2. 如果一个主合取范式不包含任何极大项,则称该主合取范式为"空"
3. 任何一个公式都有与之等价的主析取范式和主合取范式
4. 每个大项当其真值指派就是(p指派0,q指派0,r指派)与编码相同时,其真值为F,在其余情况下均为T.
5. 任意两个不同大项的析取式永真
6. 全体大项的合取式永假
   在真值表中,一个公式的真值为F的指派所对应的合取,即为该公式的主合取范式

主析取范式求解

主范式的特点和应用

蕴含式的定义

蕴含式是逻辑推理的重要工具
设A和B是命题公式,若A→B是重言式,则称A蕴含B,记作A => B

蕴含式的定理

1.定理 设A,B为任意连个命题公式.则 A<=>B的充分必要条件是 A=>B(A推导B or A蕴含B)且B=>A
2.定理 设A,B,C为合式公式

(1)A =>A (即蕴含是自反的)
(2)若A =>B且A为重言式,则B必为重言式
(3)若A =>B且B=>C,则 A => C(即蕴含是传递的)
(4)若A =>B且A=>C,则 A => B∧C
(5)若A =>B且C=>B,则 A∨C => B
(6)若A =>B,C是任意公式,则 A∧c => B∧C

证明蕴含的方法

1. 真值表法,即构建A→B的真值表

2. 等价演算法

3. 对A(左式)指定真值T,若由此推出B(右式)的真值为T,则A→B是重言式,即A (左式)=> B(右式)

4. 对B(右式)指定真值F,若由此推出A(左式)的真值为F,则A→B是重言式,即A (左式)=> B(右式)

自然推理系统

推理概述

前提推导结论的定义及方法

定理1.公式H是前提集合F={G1,G2,G3…Gn}的逻辑结果当且仅当(G1∧G2∧G3…∧Gn) → H为永真公式
永真证明方法{

1.真值表证明法 (所有真值结果为真,则为永真公式)
2.公式转换法证明法 :结果为真(通过公式转换,结果为真,则为永真公式)
3.主析取范式证明法 (将公式转化成主析取范式,其主析取范式包含所有极小项,又因极小项值都是真,所以主析取范式结果为真)
}

如何在自然推理系统中构造有效论证的方法

规则P (前提引用规则) :在推导的过程中,可随时引入前提集合中的任意一个前提;
规则T(逻辑结果引用规则): 在推导的过程中,可以随时引入公式S,该公式S是由一个或多个公式推导出来的逻辑结果
规则CP(附加前提规则):如果能给定的前提集合F 与公式P推导出S,则能从此前提集合F推导出R→ S

推理定律(规则)

推理定理可用于直接证明法,反证法,CP证法

附加律 : A => (A∨B)
化简律: (A ∧ B) => A
假言推理: ( (A → B) ∧ A) => B
拒取式: ( (A → B) ∧ ¬B) => ¬A
条件(假言)三段论: ( (A → B)∧( B → C) ) => (A → C)
析取三段论 : ( (A V B) ∧ ¬B ) => A
合取引入规则 : A,B => (A ∧ B)
假言三段论: G→H,H→I=>G→I

1.直接证明法

概念: 由前提利用推理规则直接推出结论(可使用树叉的形式倒推整理)

例子

2.附加前提证明法(CP规则)

• 如果结论是一个蕴含式(A→B),则可将蕴含式的前提移动到整个式子的前提中,作为一个附加前提
  Example
  想证明: A1 ∧A2 ∧ …An |= C → B
  相当于证明 : A1 ∧A2 ∧…An ∧ C |= B

例子

3.反证法(归缪法)

概念:将结论的否定代入前提,若中间推断矛盾,则结论成立

• 要证明: A1 ∧A2 ∧ …An |= B
• 先证明: A1 ∧A2 ∧ …An ∧ ¬B 若推导过程中出现矛盾,则结论成立

例子