数学建模：10 蒙特卡罗模拟

目录

概述

实例

投针问题

三门问题

模拟排队问题

有约束的非线性规划问题

书店买书问题（0-1规划）

导弹追踪问题

旅行商问题TSP

换灯泡

武器升级

估计自然对数的底数e

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概述

原理：由大数定理可知，当样本容量足够大时，事件的发生频率即为其概率

实例

投针问题

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需要随机模拟的是 x（中点到最近平行线的距离）、角度 φ 

%% 由于一次模拟的结果具有偶然性，可以重复100次后再来求一个平均的pi
result = zeros(100,1);  % 初始化保存100次结果的矩阵

l =  0.520;     
a = 1.314;

n = 1000000;
    
for num = 1:100
    m = 0;  
    x = rand(1, n) * a / 2 ; % 随机模拟针的终点到平行线的距离
    phi = rand(1, n) * pi; % 随机模拟角度
    for i=1:n
        if x(i) <= l / 2 * sin(phi (i)) % 判断相交的条件
            m = m + 1;
        end
    end
    p = m / n;
    mypi = (2 * l) / (a * p);
    result(num) = mypi;  % 把求出来的myphi保存到结果矩阵中
end
mymeanpi = mean(result);  % 计算result矩阵中保存的100次结果的均值

三门问题

决胜21点中的“三门问题”是怎么回事？应该如何提高中奖的概率？李永乐老师讲解蒙提霍尔问题（2018最新）_哔哩哔哩_bilibili

求：① 在已成功获奖的情况下，是因为改变后才获奖 / 没改变获奖的概率
       ② 求没有获奖、改变后才获奖、没改变获奖的概率

需要模拟的是：第一次选的哪扇门 x ，奖品在 y 门后，是否改变选择 change

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 在成功获奖的条件下，改变还是不改变 赢的概率大
n = 100000;  % n代表蒙特卡罗模拟重复次数
a = 0;  % a表示不改变主意时能赢得汽车的次数
b = 0;  % b表示改变主意时能赢得汽车的次数
for i= 1 : n 
    % 第一次选的是哪个门
    x = randi([1,3]);  % 随机生成一个1-3之间的整数x
    % 哪个门后有车
    y = randi([1,3]); 

    if x == y   % 如果x和y相同，只有不改变主意时才能赢
        a = a + 1;     b = b + 0;
    else  % x ~= y % 如果x和y不同，只有改变主意时才能赢
        a = a + 0;     b = b +1;
    end
end
disp(['蒙特卡罗方法得到的不改变主意时的获奖概率为：', num2str(a/n)]);
disp(['蒙特卡罗方法得到的改变主意时的获奖概率为：', num2str(b/n)]);


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 不获奖、改变获奖、不改变获奖的概率
n = 100000;
a = 0;
b = 0;  
c = 0;  % c表示没有获奖的次数

for i= 1 : n 
    x = randi([1,3]); 
    y = randi([1,3]); 

    % 改不改变选择
    change = randi([0, 1]); % change =0  不改变主意，change = 1 改变主意
    % 下面分为两种情况讨论：x=y和x~=y
    if x == y   % 如果x和y相同，只有不改变主意时才能赢
        if change == 0  % 不改变主意
        	a = a + 1; 
        else  % 改变了主意
            c= c + 1;
        end
    else  % x ~= y % 如果x和y不同，只有改变主意时才能赢
         if change == 0  % 不改变主意
        	c = c + 1; 
        else  % 改变了主意
            b = b + 1;
         end
    end
end
disp(['蒙特卡罗方法得到的不改变主意时的获奖概率为：', num2str(a/n)]);
disp(['蒙特卡罗方法得到的改变主意时的获奖概率为：', num2str(b/n)]);
disp(['蒙特卡罗方法得到的没有获奖的概率为：', num2str(c/n)]);

模拟排队问题

需要模拟的是：

• 第 i 个顾客到来的时间间隔 xi 
• 第 i 个顾客的服务时间 yi （注意小于 1 时改为 1）

计算：

• 第 i 个顾客到来时间 ci = c(i-1) + xi （前一个到达时间 + 间隔）
• 第 i 个顾客开始服务时间 bi = max( e(i-1), ci ) （自己到达时间 / 前一个人完成时）
• 第 i 个顾客结束服务时间 ei = bi + yi （开始时间 + 服务时间）
• 第 i 个顾客等待时间 wi = bi - ci （开始服务时间 - 到达时间）

循环条件：

• 开始服务时间 < 480 (8小时一天，单位是分钟)

初始化：

• e0 = 0, c0 = 0
• n(k) 记录第 k 天服务的人数

有约束的非线性规划问题

求非线性规划的局部最优解需要给定初始值，蒙特卡洛算法可以得到初始值

书店买书问题（0-1规划）

变量：

• xij （01变量） 第 i 商城中第 j 本书被买了就是 1 ，否则是 0
• mij 记录第 i 商城中第 j 本书的售价
• qi 记录第 i 家商城的运费
• ti 记录有没有在第 i 家店买书，买了的话就要算运费 

条件：

• 每列的和为 1 （每本书只在一家店买）

目标函数：总花费 + 运费

导弹追踪问题

思想：取很小的时间间隔，计算每一时间间隔后导弹与船的距离，小于设定的某一个值就认为相撞

旅行商问题TSP

随机生成路线，比较得到最小的那个

换灯泡

自己规定一个时间 T ，计算 T 时间内换灯泡的花费

武器升级

估计自然对数的底数e