[MATLAB]数值计算

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一、数值微积分

1.1 数值积分integral

定积分指令：integral

q = integral (fun,xmin,xmax)
q = integral (fun,xmin,xmax,Name,Value)

1. 输入量fun为被积函数的句柄
2. 输入量xmin, xmax分别是积分的下限和上限，都必须是确定的数值；
3. 输入量Name和Value是积分指令的选项，用于控制绝对误差等;
4. 二重和三重积分使用integral2和integral3指令

方法1：匿名函数

>> f = @(x)exp(-x.*x);
>> integral(f, 0, 1)

ans =

    0.7468

方法2：符号计算

>> syms x
>> f = exp(-x.*x);
>> int(f, x, 0, 1)
 
ans =
 
(pi^(1/2)*erf(1))/2

1.2 微分方程的求解

1.2.1 微分方程的解析解dsolve

dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自变量’)

在表达微分方程时，用字母D表示求微分，D2、D3等表示求高阶微分

>> dsolve('Du = 1 + u^2', 't')
 
ans =
 
 tan(C5 + t)
          1i
         -1i

>> dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0', 'y(0)=0,Dy(0)=15','x')
 
ans =
 
3*sin(5*x)*exp(-2*x)

二、数据分析

2.1 数据分析

1. 如果输入是向量，则按整个向量进行分析
2. 如果输入的是矩阵，则按列进行分析

数值分析函数

median：将每列从大到小排序，之后计算中位数

如第二列从大到小排序后，计算（11+7）/2

A =

     4     8    -9
    11   -12     4
    -8     0     5
     6     5    10

>> sum(A,2) % 各行元素之和
ans =

     3
     3
    -3

>> sort(A,2)

ans =

    -9     4     8
   -12     4    11
    -8     0     5

2.2 reshape

A =

    16     2     3    13
     5    11    10     8
     9     7     6    12
     4    14    15     1

>> B = reshape(A ,4,4) % 将魔方阵重塑为4*4的矩阵

B =

    16     2     3    13
     5    11    10     8
     9     7     6    12
     4    14    15     1

>> B = reshape(1:16 ,4,4) % 将魔方阵重塑为4*4的矩阵

B =

     1     5     9    13
     2     6    10    14
     3     7    11    15
     4     8    12    16

三、矩阵和代数方程

3.1 矩阵的特征参数

3.2 矩阵的特征值与特征向量

[V,D]=eig(A)，求解矩阵A的特征值D与特征向量V，AV=VD

>> A=[0 1;-1 0]; 
>> [V,D] = eig(A)

V =

   0.7071 + 0.0000i   0.7071 + 0.0000i
   0.0000 + 0.7071i   0.0000 - 0.7071i


D =

   0.0000 + 1.0000i   0.0000 + 0.0000i
   0.0000 + 0.0000i   0.0000 - 1.0000i

3.3 矩阵的分解

3.3.1 三角形分解（LU分解）

[L,U] = lu(A)

将方阵A表示成一个换位的下三角方阵L和一个上三角矩阵U的乘积

>> A=[5 2 0;2 6 2;5 6 7]; 
>> [L,U] = lu(A)

L =

    1.0000         0         0
    0.4000    1.0000         0
    1.0000    0.7692    1.0000


U =

    5.0000    2.0000         0
         0    5.2000    2.0000
         0         0    5.4615

3.3.2 正交分解（QR分解）

[Q,R] = qr(A)

将矩阵A表示成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积

>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];  
>> [Q,R] = qr(A)

Q =

   -0.1231    0.9045    0.4082
   -0.4924    0.3015   -0.8165
   -0.8616   -0.3015    0.4082


R =

   -8.1240   -9.6011  -11.0782
         0    0.9045    1.8091
         0         0   -0.0000

3.4 解线性方程组

3.4.1 线性方程组

线性方程组：未知量均为一次的方程组（n元一次方程组）

矩阵形式：Ax = b

3.4.2 几种解线性方程的函数

3.4.3 齐次线性方程组

Ax = 0 称为齐次线性方程组

>> A=[1,-3,-1;1,-1,-19];       
>> null(A)

ans =

    0.9515
    0.3058
    0.0340

3.4.4 非齐次线性方程组

Ax = b 称为非齐次线性方程组
若秩(A) ≠ 秩(A,b)，则无解；
若秩(A) = 秩(A,b) = n, 存在唯一解；
若秩(A) = 秩(A,b) < n, 存在无穷多解；
当方程有无穷多解时，通解是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系与 Ax=b 的一个特解之和。

左除法 A\B 求解矩阵方程AX=B
右除法 B/A 求解矩阵方程XA=B

若为唯一解， A\B将给出正确的解；
若方程组有无穷多解， A\B将给出一个特解，通解是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系null(A)与 A\B之和;
若方程组无解, A\B给出最小二乘意义上的近似解。

>> A = [1 2 ; 3 -2];
>> B = [1;4];
>> rank(A)

ans =

     2

>> rank([A,B])

ans =

     2

>> A\B

ans =

    1.2500
   -0.1250

>> A = [2 -2 3 ; -1 1 -2 ; 1 -1 1];
>> B = [5;3;8];
>> r1 = rank(A);
>> r2 = rank(B);
>> x0 = A \ B
警告: 矩阵为奇异工作精度。 

x0 =

   NaN
   NaN
   -11
% 由于不能直接解出，结果为非数，所以需要给原方程加上一个方程：0x1+0x2+0x3 = 0
>> a = [2 -2 3; -1 1 -2; 1 -1 1; 0 0 0];
>> b = [5;3;8;0];
>> x1 = a \ b; 
>> x = null(a)

x =

   -0.7071
   -0.7071
    0.0000

四、多项式运算

4.1 多项式的表示

例如：
2x3 - x2 + 3 <——> [2, -1, 0, 3] 系数中的0不能省

4.2 显示多项式

4.2.1 多项式的生成——系数法poly2sym

>> A = [1 2 3 4 5];
>> poly2sym(A)
 
ans =
 
x^4 + 2*x^3 + 3*x^2 + 4*x + 5

4.2.2 多项式的生成——根逆推法poly

% 已知根向量A = [1 -31 -80 0 0];
>> A = [1 -31 -80 0 0];
>> PA = poly(A);
>> poly2sym(PA)
 
ans =
 
x^5 + 110*x^4 + 2369*x^3 - 2480*x^2

4.3 多项式求值polyval

polyval(p, x) % 计算多项式p在x点的值

>> p = [2 -1 0 3];
>> x = 2;
>> y = polyval(p, x)

y =

    15

>> x = [-1 2 : -2 1];
>> y = polyval(p, x)

y =

     0     4

4.4 多项式的求根和求导

求多项式的根就是求解多项式f(x)=0的值。
roots(多项式向量)函数来求解出这个多项式的根。

求多项式的导
polyer(多项式向量)函数

>> P = [4 -3 2 -5];
>> x = roots(P)

x =

   1.2007 + 0.0000i
  -0.2253 + 0.9951i
  -0.2253 - 0.9951i

>> x = [3 3.6];
>> polyval(P, x)

ans =

   82.0000  149.9440

4.5 多项式的四则运算

4.5.1 多项式乘法运算函数conv（P1,P2）

>> a = [1 2 3];
>> b = [4 5 6];
>> c = conv(a, b)

c =

     4    13    28    27    18

>> poly2str(c, 'x')

ans =

   4 x^4 + 13 x^3 + 28 x^2 + 27 x + 18

4.5.2 多项式除法运算函数[div, rest] = deconv（a,b）

>> a = [1 2 3];
>> b = [4 5 6];
>> [div, rest] = deconv(a, b)

div =

    0.2500


rest =

         0    0.7500    1.5000

五、插值与拟合

5.1 多项式拟合polyfit(x,y,n)

多项式拟合：利用已知的离散数据估计未知点过程

1. 求x，y数组所给数据的n阶拟合多项式系数向量p
2. 多项式的阶数n要取得适当。
3. 用一个多项式来逼近一组给定的数据
4. 从几何上讲，并不要求曲线严格通过已知点，但要求曲线在各数据点和已知数据点之间的总体误差最小

5.2 拟合与插值的区别

1. 曲线拟合研究如何寻找“平滑”曲线最好地表现带噪声的“测量数据”，但并不要求拟合曲线穿过这些“测量数据”点。
2. 插值是在认定所给“基准数据”完全正确的情况下，研究如何“平滑”的估算出“基准数据”之间其他点的函数值，因此插值所得曲线一定穿过“基准数据”。

5.3 拟合应用

>> x = 1949 : 5 : 1994;
>> y=[541.67,602.66,672.09,704.99,806.71,908.59,975.42,1034.75,1106.76,1176.74];
>> p = polyfit(x,y,3)

p =

   1.0e+07 *

   -0.0000    0.0000   -0.0049    3.1995

>> x1 = 1995

x1 =

        1995

>> y1 = polyval(p,x1);
>> y1 = polyval(p,x1)

y1 =

   1.1821e+03