点云拟合思路

1、最小二乘拟合
原理：使得残差平方和最小 ，可用于
曲线拟合
矩阵解法：假设函数

的矩阵表达式为

损失函数定义为：

拟合空间球体：

拟合二次曲面

参考文献：列车车轴空间直线度检测[J].计算机应用,2019,39(10):2960-2965

2.（SVD法）（对矩阵进行正交分解）

A为一个m*n的矩阵

定义矩阵的SVD为：

算法原理：
拟合平面方程：ax+by+cz+d=0
约束条件：a²+b²+c²=1
要求使得k个邻近点到该平面的距离的平方和最小，构建矩阵为AX=0，将A矩阵进行奇异值分解之后，最小奇异值对余震的平面应的法向量即为拟合平面的系数向量。
参考博客范例：利用余震的三维坐标拟合出最可能产生
注：PCA法在SVD去质心化的基础上进行求解协方差矩阵，之后对协方差矩阵进行奇异值分解
3.RANSAC（随机采样一致）拟合平面算法：
（MATLAB点云工具箱中有RANSAC拟合平面算法的直接实现）
算法基于一个假设：数据由外点与内点两部分组成。其中，外点为不符合模型的点，进行反复迭代，直至拟合曲线曲面上的内点大于阈值。

涨知识：

1. UTM坐标：是一种广泛应用于地形图描述的平面直角坐标系，多应用于卫星。
2. 酉矩阵：W的这n个特征向量标准化，即满足
   此时W的n个特征向量为标准正交基，满足
   ，也就是说W为酉矩阵。矩阵正交分解：又称QR分解，分解为一个正交矩阵与一个上三角矩阵的乘积的形式。正交矩阵在复数域上也成为酉矩阵。
3. 协方差矩阵：对角线上的元素为各个随机变量的方差，非对角线上的元素为两两随机变量之间的协方差，我们可以认定：矩阵

为对称矩阵(symmetric matrix) 。
协方差衡量两个变量的总体误差，刻画相似程度。（方差是协方差的一种特殊情况，用来度量单个随机变量的离散程度）如果两个变量的变化趋势一致，则协方差为正值，否则为负值。
参考文章：协方差矩阵的解释

• 多元正态分布与线性变换