概率论与数理统计（4）--泊松分布、指数分布与爱尔朗分布

在排队论中，我们经常见到上面三种分布，即泊松分布、指数分布和爱尔朗分布。我们详细整理一下。

1. 泊松分布

在我们的日常生活中，大量的事件发生是有其固定频率的。就比如下面的例子：

• 某医院平均每小时出生3个婴儿
• 某公司平均每10分钟接到1个电话
• 某超市平均每天销售4包xx牌奶粉
• 某网站平均每分钟有2次访问

我们可以预估上述事件的总数，但是没法知道具体的发生时间。就比如，我们已知平均每小时出生3个婴儿，请问下一个小时，会出生几个？ 

而整理的泊松分布就是表述这种概率发生时间的,简言之，泊松分布就是描述某段时间内，事件具体的发生概率。

 

上面的公式中，等号的左边，P 表示概率，N表示某种函数关系，t 表示时间，n 表示数量，1小时内出生3个婴儿的概率，就表示为 P(N(1) = 3) 。等号的右边，λ 表示事件的频率。 

从上面的泊松分布图可以看到，在频率附近，事件的发生概率最高，然后向两边对称下降，即变得越大和越小都不太可能。

 

 

2. 指数分布

指数分布是事件的时间间隔的概率。下面这些都属于指数分布。 

比如下面的例子都是需要用到指数分布的，比如婴儿出生的时间间隔 来电的时间间隔 奶粉销售的时间间隔 网站访问的时间间隔等，也就是说，指数分布和泊松分布是一种“逆向的运算”，指数分布衡量的是时间的发生间隔的概念，而泊松分布则是某段时间内，某一件事件发生的概率。

可以看到泊松分布和指数分布都是与时间相关的。我们可以借助泊松分布推导出来指数分布，比如说如果下一个婴儿要间隔时间 t ，就等同于 t 之内没有任何婴儿出生。

 反过来，事件在时间 t 之内发生的概率，就是1减去上面的值。

 

指数分布的概率密度函数定义：

 

 

综合上面，我们可以知道：泊松分布是单位时间内独立事件发生次数的概率分布，指数分布是独立事件的时间间隔的概率分布。 

3 爱尔朗分布

具体而言，爱尔朗分布与指数分布一样多用来表示独立随机事件发生的时间间隔。相比指数分布，爱尔朗分布能更好地对现实数据进行拟合（更适用于多个串行过程，或无记忆性假设不显著的情况下）。

简言之，服从指数分布的随机变量之和服从爱尔朗分布。